תורת הקבוצות/עוצמות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
||
שורה 193:
* <math>2^{|A|}=|\{0,1\}^A|=|\mathcal{P}(A)|</math>.
* <math>2^{\aleph_0}=\aleph</math>.
{{משפט|שם=משפט 3.13: תכונות החזקה של עוצמות|תוכן=פעולת החזקה של עוצמות מקיימת:
# <math>\kappa^\lambda\cdot\kappa^\mu=\kappa^{\lambda+\mu}</math>.
# <math>\kappa^\mu\cdot\lambda^\mu=(\kappa\cdot\lambda)^\mu</math>.
# <math>(\kappa^\lambda)^\mu=\kappa^{\lambda\cdot\mu}</math>.
# <math>\kappa^1=\kappa</math>.
# <math>\kappa^0=1</math>.
# <math>1^\kappa=1</math>.
# <math>0^\kappa=\begin{cases}0&&\kappa\not=0\\1&&\kappa=0\end{cases}</math>. (שימו לב: הביטוי <math>0^0</math> אינו מוגדר באנליזה המתמטית, אך בתורת הקבוצות הוא מוגדר ושווה ל1)}}
'''הוכחה''': יהו <math>|A|=\kappa,|B|=\lambda,|C|=\mu</math>.
# נניח ש<math>B,C</math> זרות, ונגדיר <math>\psi:A^B\times A^C\to A^{B\cup C}</math> כך: <math>\psi(f,g)</math> היא הפונקציה <math>h:B\cup C\to A</math> המקיימת <math>h(x)=\begin{cases}f(x)&&x\in B\\g(x)&&x\in C\end{cases}</math>. הראו שהיא חח"ע ועל.
# נגדיר <math>\psi:A^C\times B^C\to (A\times B)^C</math> כך: <math>\psi(f,g)</math> היא הפונקציה <math>h:C\to A\times B</math> המקיימת <math>h(x)=(f(x),g(x))</math>. הראו שהיא חח"ע ועל.
# נגדיר <math>\psi:(A^B)^C\to A^{B\times C}</math> כך: <math>\psi(f)</math> היא הפונקציה <math>g:B\times C\to A</math> המוגדרת <math>g(x,y)=f(y)(x)</math> (שימו לב, <math>f(y)</math> היא פונקציה). הראו שהיא חח"ע ועל.
# נגדיר <math>\psi:A^{\{0\}}\to A</math> כך: <math>\psi(f)=f(0)</math>.
# הפונקציה היחידה <math>f:\empty\to A</math> היא הפונקציה <math>f=\{\}=\empty</math>, לכן <math>|A^\empty|=1</math>.
# הפונקציה היחידה <math>f:A\to\{0\}</math> היא <math>f(x)=0</math>, לכן <math>|\{0\}^A|=1</math>.
# אם <math>A\not=\empty</math>, אז לא קיימת פונקציה <math>f:\empty\to A</math>, כי פונקציה צריכה להיות מוגדרת לכל x. אם <math>A=\empty</math>, אז הפונקציה <math>\empty:\empty\to\empty</math> היא פונקציה, לכן <math>|\empty^\empty|=1</math>.
{{תורת הקבוצות|מוגבל}}
| |||