תורת הקבוצות/פונקציות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
||
שורה 102:
# <math>f</math> היא פונקציה מצטמצמת משמאל אם ורק אם היא על.}}
{{הוכחה|
# נניח שf חח"ע. יהו g,h כך ש <math>f\circ g=f\circ h</math>. אז לכל <math>x</math>, <math>f(g(x))=f(h(x))</math>. מכיוון שf חח"ע, נקבל <math>g(x)=h(x)</math>, כלומר <math>g=h</math>. לכן f מצטמצמת מימין. נניח שf לא חח"ע. יהו <math>a\not=b</math> כך ש<math>f(a)=f(b)</math>. נגדיר את הפונקציות <math>g(x)=a,h(x)=b</math>. <math>g\not=h</math>, ולמרות זאת <math>f(g(x))=f(a)=f(b)=f(h(x))</math>, כלומר <math>f\circ g=f\circ h</math>. לכן f לא מצטמצמת מימין.
# נניח שf על. יהו <math>g,h</math> כך ש-<math>g\circ f=h\circ f</math>. לכל x יהי y כך ש-<math>f(y)=x</math>. אז מתקיים <math>g(x)=g(f(y))=h(f(y))=h(x)</math>, לכן <math>g=h</math>. לכן f מצטמצמת משמאל. נניח שf לא על. יהי a כך שלכל x, <math>f(x)\not=a</math>. נגדיר את הפונקציות <math>g,h</math> כך שמתקיים <math>h(x)=\begin{cases}g(x)&&x\not=a\\b&&x=a\end{cases}</math> עבור <math>b\not=g(a)</math> כלשהו. מתקיים <math>g\not=h</math>, ולמרות זאת <math>g\circ f=h\circ f</math> (כי בכל תמונת הפונקציה f, <math>g=h</math>). לכן f לא מצטמצמת משמאל.}}
{{תורת הקבוצות|מוגבל}}
[[קטגוריה:תורת הקבוצות|פונקציות]]
| |||