תורת הקבוצות/סודרים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) יצירת דף עם התוכן "{{בעבודה}} {{תורת הקבוצות}} למספרים הטבעיים יש שתי שימושים נחמדים: הראשון הוא לומר "באלף בית..." |
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
||
שורה 9:
* לכל תת קבוצה <math>S\subseteq\alpha</math> לא ריקה, יש איבר ראשון בקבוצה הסדורה <math>(S,\in)</math>.}}
{{משפט|מספר=4.1|תוכן=כל איבר של סודר הוא סודר בעצמו.}}
{{הוכחה|נניח כי <math>\alpha</math> סודר, ו-<math>\beta\in\alpha</math>. אז מתקיים <math>y\in x\in\beta\Rightarrow y\in x\in \alpha\Rightarrow y\in\alpha</math>. לא ייתכן ש-<math>y\in\alpha\setminus\beta</math>, כי אז }}
הסודר הראשון והטריוויאלי הוא <math>\empty</math> - הקבוצה הריקה, שכן שתי הטענות מתקיימות לגביה באופן ריק. נהוג לסמן <math>0=\empty</math> (זוהי גם ההגדרה המקובלת של המספרים הטבעיים, כלומר הסודר אפס הוא המספר אפס). על מנת ליצור עוד סודרים נגדיר את פונקציית העוקב: <math>S(\alpha)=\alpha\cup\{\alpha\}</math>.
{{משפט|מספר=4.1|תוכן=אם <math>\alpha</math> סודר, אז <math>S(\alpha)</math> סודר.}}
שורה 21:
קיבלנו אוסף נחמד של סודרים, והוא <math>\{0,S(0),S(S(0)),...\}=\{0,1,2,...\}=\N</math>. אלו הם כל הסודרים הסופיים, אך ברצוננו להגדיר גם סודרים אינסופיים. לשם כך נגדיר את אומגה, הסודר האינסופי הראשון: <math>\omega=\bigcup_{\alpha\in\N}\alpha=0\cup1\cup2\cup...=\{0,1,2,...\}=\N</math>. כלומר אומגה הוא קבוצת המספרים הטבעיים. כעת נוכיח כי אומגה הוא סודר. לשם כך נוכיח טענה חזקה יותר:
{{משפט|מספר=4.2|תוכן=אם <math>E</math> אוסף של סודרים, אז <math>\bigcup_{\alpha\in E}\alpha</math> הוא סודר.}}
{{הוכחה|}}
| |||