תורת הקבוצות/סודרים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 3:
למספרים הטבעיים יש שתי שימושים נחמדים: הראשון הוא לומר "באלף בית העברי יש עשרים ושתים אותיות", שאותו הכללנו לאינסוף במסגרת ה[[תורת הקבוצות/עוצמות|עוצמות]]. השני הוא במונחים של סדר, כלומר "ג' היא האות השלישית באלף בית העברי". את שימוש זה נכליל לאינסוף כאן, כשנגדיר את ה'''סודרים'''.
==הגדרה פורמלית==
נגדיר קודם כל מושג עזר:
{{הגדרה|שם=קבוצה טרנזיטיבית|תוכן='''קבוצה טרנזיטיבית''' היא קבוצה שכל איבר שלה הוא תת קבוצה שלה, כלומר <math>A</math> היא קבוצה טרנזיטיבית אם ורק אם <math>x\in A\Rightarrow x\subseteq A</math>. השם '''טרנזיטיבית''' נגזר מכך שיחס השייכות מתנהג בצורה טרנזיטיבית על הקבוצה, כלומר <math>x\in A\land y\in x\Rightarrow y\in A</math>.}}
כעת נגדיר את הסודרים:
שורה 8 ⟵ 9:
* <math>y\in x\in\alpha\Rightarrow y\in\alpha</math>.
* לכל תת קבוצה <math>S\subseteq\alpha</math> לא ריקה, יש איבר ראשון בקבוצה הסדורה <math>(S,\in)</math>.}}
{{משפט|מספר=4.0|תוכן=אם <math>\alpha</math> סדורה מלא ב<math>\in</math>, אז היא סדורה היטב ב<math>\in</math>.}}
לפני שניגש להוכחת המשפט, נביא אקסיומה חשובה ושימושית ממערכת האקסיומות של [[w:תורת הקבוצות האקסיומטית|ZFC]] - מערכת אקסיומות של תורת הקבוצות האקסיומטית:
{{אקסיומה|שם=אקסיומת היסוד|תוכן=לכל קבוצה x אם x לא ריקה אז יש איבר <math>y\in x</math> כך שלכל <math>z\in x</math> מתקיים <math>z\not\in y</math>.}}
כעת נוכל להוכיח את משפט 4.0:
{{הוכחה|מאקסיומת היסוד נובע שלא קיימת סדרת שייכות יורדת אינסופית, כלומר
{{משפט|מספר=4.1|תוכן=כל איבר של סודר הוא סודר בעצמו.}}
{{הוכחה|נניח
הסודר הראשון והטריוויאלי הוא <math>\empty</math> - הקבוצה הריקה, שכן שתי הטענות מתקיימות לגביה באופן ריק. נהוג לסמן <math>0=\empty</math> (זוהי גם ההגדרה המקובלת של המספרים הטבעיים, כלומר הסודר אפס הוא המספר אפס). על מנת ליצור עוד סודרים נגדיר את פונקציית העוקב: <math>S(\alpha)=\alpha\cup\{\alpha\}</math>.
{{משפט|מספר=4.
{{הוכחה|יהי <math>x\in S(\alpha)</math>. אז <math>x\in\alpha</math> או <math>x=\alpha</math>. במקרה הראשון נקבל <math>x\subseteq\alpha\subseteq S(\alpha)</math>. במקרה השני נקבל <math>x=\alpha\subseteq S(\alpha)</math>. בכל מקרה <math>S(\alpha)</math> קבוצה טרנזיטיבית. נראה ש <math>(S(\alpha),\in)</math> סדורה היטב. לצורך כך יש להראות גם כי היא סדורה מלא:
# '''אנטי רפלקסיביות''': [[w:אקסיומת היסוד|אקסיומת היסוד]] קובעת כי לכל קבוצה x, <math>x\not\in x</math>.
שורה 20 ⟵ 26:
קיבלנו אוסף נחמד של סודרים, והוא <math>\{0,S(0),S(S(0)),...\}=\{0,1,2,...\}=\N</math>. אלו הם כל הסודרים הסופיים, אך ברצוננו להגדיר גם סודרים אינסופיים. לשם כך נגדיר את אומגה, הסודר האינסופי הראשון: <math>\omega=\bigcup_{\alpha\in\N}\alpha=0\cup1\cup2\cup...=\{0,1,2,...\}=\N</math>. כלומר אומגה הוא קבוצת המספרים הטבעיים. כעת נוכיח כי אומגה הוא סודר. לשם כך נוכיח טענה חזקה יותר:
{{משפט|מספר=4.
{{הוכחה|אם <math>x\in\bigcup_{\alpha\in E}\alpha</math>, אז קיים <math>\beta\in E</math> כך ש-<math>x\in\beta</math>. מכיוון ש<math>\beta</math> סודר, נקבל <math>x\subseteq\beta\subseteq\bigcup_{\alpha\in E}\alpha</math>, לכן <math>\bigcup_{\alpha\in E}\alpha</math> טרנזיטיבית. נוכיח את התכונות הדרושות ליחס סדר טוב:
# '''אנטי רפלקסיביות''': [[w:אקסיומת היסוד|אקסיומת היסוד]] קובעת כי לכל קבוצה x, <math>x\not\in x</math>.
# '''טרנזיטיביות''': <math>x\in y\in z\Rightarrow x\in z</math>, כי כאיבר של <math>E</math>, z הוא סודר.}}
| |||