תורת הקבוצות/סודרים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
||
שורה 11:
{{משפט|מספר=4.0|תוכן=אם <math>\alpha</math> סדורה מלא ב<math>\in</math>, אז היא סדורה היטב ב<math>\in</math>.}}
לפני שניגש להוכחת המשפט, נביא אקסיומה חשובה ושימושית ממערכת האקסיומות של [[w:תורת הקבוצות האקסיומטית|ZFC]] - מערכת אקסיומות של תורת הקבוצות האקסיומטית:
{{מבנה תבנית|
{{אקסיומה|שם=אקסיומת היסוד|תוכן=לכל קבוצה x אם x לא ריקה אז יש איבר <math>y\in x</math> כך שלכל <math>z\in x</math> מתקיים <math>z\not\in y</math>.}}▼
כותרת ={{#תנאי:{{{מספר|}}}|  {{{מספר}}}}} {{#תנאי:{{{שם|אקסיומת היסוד}}}|  אקסיומת היסוד}}|
▲
}}
כעת נוכל להוכיח את משפט 4.0:
{{הוכחה|מאקסיומת היסוד נובע שלא קיימת סדרת שייכות יורדת אינסופית, כלומר סדרה מהצורה <math>x_0\ni x_1\ni x_2\ni...</math>, כי אם היתה, אז הקבוצה <math>\{x_n:n\in\N\}</math> היתה סותרת את אקסיומת היסוד. נניח ש<math>(A,\in)</math> סדורה מלא. אז מ[[תורת הקבוצות/יחסי סדר#יחס סדר טוב|משפט פה]] נקבל ש<math>(A,\in)</math> סדורה היטב.}}
{{משפט|מספר=4.1|תוכן=כל איבר של סודר הוא סודר בעצמו.}}
{{הוכחה|נניח ש <math>\alpha</math> סודר, וכן <math>\beta\in\alpha</math>. מהטרנזיטיביות של <math>\alpha</math> נקבל <math>\beta\subseteq\alpha</math>. תת קבוצה של קבוצה סדורה היטב היא קבוצה סדורה היטב, לכן צריך להוכיח רק ש<math>\beta</math> טרנזיטיבית. מכיוון שהיחס <math>\in</math> על <math>\alpha</math> הוא טרנזיטיבי, נקבל <math>x\in y\in\beta\Rightarrow x\in\beta</math>.}}
שורה 19 ⟵ 22:
{{משפט|מספר=4.2|תוכן=אם <math>\alpha</math> סודר, אז <math>S(\alpha)</math> סודר.}}
{{הוכחה|יהי <math>x\in S(\alpha)</math>. אז <math>x\in\alpha</math> או <math>x=\alpha</math>. במקרה הראשון נקבל <math>x\subseteq\alpha\subseteq S(\alpha)</math>. במקרה השני נקבל <math>x=\alpha\subseteq S(\alpha)</math>. בכל מקרה <math>S(\alpha)</math> קבוצה טרנזיטיבית. נראה ש <math>(S(\alpha),\in)</math> סדורה היטב. לצורך כך יש להראות גם כי היא סדורה מלא:
# '''אנטי רפלקסיביות''':
# '''טרנזיטיביות''': <math>x\in y\in z\Rightarrow x\in y\subseteq z\Rightarrow x\in z</math> (כי y הוא סודר).
# '''השוואה''': נניח ש<math>x,y\in S(\alpha),x\not=y</math>. אז או שאחד מהם הוא <math>\alpha</math>, נניח y, ואז <math>x\in S(\alpha)\setminus\{\alpha\}=\alpha=y</math>, או ש<math>x,y\not=\alpha</math>, ואז <math>x,y\in\alpha</math>, ולכן מתקיימת תכונת ההשוואה כי <math>\alpha</math> סודר.
שורה 28 ⟵ 31:
{{משפט|מספר=4.3|תוכן=אם <math>E</math> קבוצה של סודרים, אז <math>\bigcup_{\alpha\in E}\alpha</math> הוא סודר.}}
{{הוכחה|אם <math>x\in\bigcup_{\alpha\in E}\alpha</math>, אז קיים <math>\beta\in E</math> כך ש-<math>x\in\beta</math>. מכיוון ש<math>\beta</math> סודר, נקבל <math>x\subseteq\beta\subseteq\bigcup_{\alpha\in E}\alpha</math>, לכן <math>\bigcup_{\alpha\in E}\alpha</math> טרנזיטיבית. נוכיח את התכונות הדרושות ליחס סדר טוב:
# '''אנטי רפלקסיביות''':
# '''טרנזיטיביות''': <math>x\in y\in z\Rightarrow x\in z</math>, כי כאיבר של <math>E</math>, z הוא סודר.
# '''השוואה''': נניח ש <math>x,y\in E,x\not=y</math>. אז שניהם סודרים. לכן }}
| |||