תורת הקבוצות/סודרים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
||
שורה 25:
# '''טרנזיטיביות''': <math>x\in y\in z\Rightarrow x\in y\subseteq z\Rightarrow x\in z</math> (כי y הוא סודר).
# '''השוואה''': נניח ש<math>x,y\in S(\alpha),x\not=y</math>. אז או שאחד מהם הוא <math>\alpha</math>, נניח y, ואז <math>x\in S(\alpha)\setminus\{\alpha\}=\alpha=y</math>, או ש<math>x,y\not=\alpha</math>, ואז <math>x,y\in\alpha</math>, ולכן מתקיימת תכונת ההשוואה כי <math>\alpha</math> סודר.
▲נהוג להגדיר <math>1=S(0),2=S(1),...</math>, כלומר <math>1=\{0\},2=\{0,1\}</math>, ובגדול <math>n=\{0,...,n-1\}</math>.
קיבלנו אוסף נחמד של סודרים, והוא <math>\{0,S(0),S(S(0)),...\}=\{0,1,2,...\}=\N</math>. אלו הם כל הסודרים הסופיים, אך ברצוננו להגדיר גם סודרים אינסופיים. לשם כך נגדיר את אומגה, הסודר האינסופי הראשון: <math>\omega=\bigcup_{\alpha\in\N}\alpha=0\cup1\cup2\cup...=\{0,1,2,...\}
{{משפט|מספר=4.3|תוכן=אם <math>E</math> קבוצה של סודרים, אז <math>\bigcup_{\alpha\in E}\alpha</math> הוא סודר.}}
{{הוכחה|אם <math>x\in\bigcup_{\alpha\in E}\alpha</math>, אז קיים <math>\beta\in E</math> כך ש-<math>x\in\beta</math>. מכיוון ש<math>\beta</math> סודר, נקבל <math>x\subseteq\beta\subseteq\bigcup_{\alpha\in E}\alpha</math>, לכן <math>\bigcup_{\alpha\in E}\alpha</math> טרנזיטיבית. נוכיח את התכונות הדרושות ליחס סדר טוב:
| |||