תורת הקבוצות/יחסי סדר: הבדלים בין גרסאות בדף

{{הגדרה|שם=איבר מינימלי/מקסימלי, איבר קטןראשון/גדול ביותראחרון|תוכן=תהי קבוצה סדורה חלקית <math>(A,\prec)</math> ויהי <math>a\in A</math>. איבר <math>a</math> יקרא:

# '''איבר קטן ביותרראשון''': אם לכל <math>b\in A</math> מתקיים <math>a \preceq b</math> (<math>a\prec b</math> או <math>a=b</math>).

# '''איבר גדול ביותראחרון''': אם לכל <math>b\in A</math> מתקיים <math>b \preceq a</math> (<math>b\prec a</math> או <math>a=b</math>).}}

# אם <math>a</math> הוא איבר קטן ביותרראשון אז <math>a</math> הוא האיבר המינימלי '''היחיד'''.

# אם <math>a</math> הוא איבר הגדול ביותראחרון אז <math>a</math> הוא האיבר המקסימלי '''היחיד'''.}}

{{הוכחה|יהי <math>a</math> איבר קטן ביותרראשון. יהי <math>b\in A</math>.

<math>a</math> הוא איבר קטן ביותרראשון ולכן <math>a\preceq b</math>.

ההנחה הובילה לסתירה ולכן <math>a=m</math>ובכך הראנו כי <math>a</math> הוא האיבר המינימלי היחיד. כפי שרצינו.}}שימו לב, הוכחנו כי אם ביחס סדר חלקי יש איבר קטןראשון/גדול ביותראחרון אז הוא האיבר המינימלי/מקסימלי היחיד. הכיוון השני אינו נכון (חשבו על דוגמה נגדית).

'''מסקנה מהשפט:''' אם יש יותר מאיבר מינימלי/מקסימלי אחד אז אין איבר קטןראשון/גדול ביותראחרון.