תורת הקבוצות/אינדוקציה טרנספיניטית: הבדלים בין גרסאות בדף

'''אינדוקציה טרנספיניטית''' היא שיטה מוצלחת להוכחת תכונות ב[[תורת הקבוצות/יחסי סדר#יחס סדר טוב|קבוצות סדורות היטב]]. מהלך השיטה הוא כך: נניח ש <math>(A,\prec)</math> בדורהסדורה היטב, ותהי <math>\phi(x)</math> טענה לוגית התלויה במשתנים, כאשר משמעות הביטוי <math>\phi(x)</math> היא ש<math>\phi</math> טענה נכונה כאשר מציבים את x במקומות הנכונים. כדוגמה, הטענה <math>\phi(x)\equiv(\exist y,x+y=0)</math> נכונה לכל <math>x\in\R</math>. לעומת זאת, הטענה <math>\phi(x)\equiv(x^2=x)</math> נכונה רק עבור <math>x=0,1</math>. נחזור לעקרון האינדוקציה: בהינתן טענה כזו על קבוצה סדורה היטב, יהי <math>a_0</math> האיבר הראשון בקבוצה. מתקיימת הטענה הבאה: <math>(\phi(a_0)\land\forall x\in A(\forall y\prec x,\phi(y)\Rightarrow\phi(x)))\Rightarrow\forall x\in A,\phi(x)</math>. במילים אחרות: אם הוכחנו את הטענה עבור האיבר הראשון, והוכחנו שאם הטענה מתקיימת לכל האיברים שקטנים מאיבר כלשהו אז היא מתקיימת גם לאיבר הזה, אז הטענה מתקיימת לכל האיברים.