תורת הקבוצות/סודרים: הבדלים בין גרסאות בדף

* <math>y\in x\in\alpha\Rightarrow y\in\alpha</math>.

* לכל תת קבוצה <math>S\subseteq\alpha</math> לא ריקה, יש איבר ראשון בקבוצה הסדורה <math>(S,\in)</math>.}}

לפני שניגש להוכחת המשפט, נביא אקסיומה חשובה ושימושית ממערכת האקסיומות של [[w:תורת הקבוצות האקסיומטית|ZFC]] - מערכת אקסיומות של תורת הקבוצות האקסיומטית:

{{מבנה תבנית|

הסבר = לכל קבוצה x אם x לא ריקה אז יש איבר <math>y\in x</math> כך שלכל <math>z\in x</math> מתקיים <math>z\not\in y</math>.

}}

{{הוכחה|מאקסיומת היסוד נובע שלא קיימת סדרת שייכות יורדת אינסופית, כלומר סדרה מהצורה <math>x_0\ni x_1\ni x_2\ni...</math>, כי אם היתה, אז הקבוצה <math>\{x_n:n\in\N\}</math> היתה סותרת את אקסיומת היסוד. נניח ש<math>(A,\in)</math> סדורה מלא. אז מ[[תורת הקבוצות/יחסי סדר#יחס סדר טוב|משפט על יחסים טובים]] נקבל ש<math>(A,\in)</math> סדורה היטב.}}

{{הוכחה|נניח ש <math>\alpha</math> סודר, וכן <math>\beta\in\alpha</math>. מהטרנזיטיביות של <math>\alpha</math> נקבל <math>\beta\subseteq\alpha</math>. תת קבוצה של קבוצה סדורה היטב היא קבוצה סדורה היטב, לכן צריך להוכיח רק ש<math>\beta</math> טרנזיטיבית. מכיוון שהיחס <math>\in</math> על <math>\alpha</math> הוא טרנזיטיבי, נקבל <math>x\in y\in\beta\Rightarrow x\in\beta</math>.}}

הסודר הראשון והטריוויאלי הוא <math>\empty</math> - הקבוצה הריקה, שכן שתי הטענות מתקיימות לגביה באופן ריק. נהוג לסמן <math>0=\empty</math> (זוהי גם ההגדרה המקובלת של המספרים הטבעיים, כלומר הסודר אפס הוא המספר אפס). על מנת ליצור עוד סודרים נגדיר את פונקציית העוקב: <math>S(\alpha)=\alpha\cup\{\alpha\}</math>.

{{הוכחה|יהי <math>x\in S(\alpha)</math>. אז <math>x\in\alpha</math> או <math>x=\alpha</math>. במקרה הראשון נקבל <math>x\subseteq\alpha\subseteq S(\alpha)</math>. במקרה השני נקבל <math>x=\alpha\subseteq S(\alpha)</math>. בכל מקרה <math>S(\alpha)</math> קבוצה טרנזיטיבית. נראה ש <math>(S(\alpha),\in)</math> סדורה היטב. לצורך כך יש להראות גם כי היא סדורה מלא:

# '''אנטי רפלקסיביות''': נפעיל את אקסיומת היסוד על <math>\{x\}</math>, ונקבל <math>x\not\in x</math>.

 

קיבלנו אוסף נחמד של סודרים, והוא <math>\{0,S(0),S(S(0)),...\}=\{0,1,2,...\}=\N</math>. אלו הם כל הסודרים הסופיים, אך ברצוננו להגדיר גם סודרים אינסופיים. לשם כך נגדיר את אומגה, הסודר האינסופי הראשון: <math>\omega=\bigcup_{\alpha\in\N}\alpha=0\cup1\cup2\cup...=\{0,1,2,...\}</math>. כלומר אומגה הוא קבוצת המספרים הטבעיים. כעת נוכיח כי אומגה הוא סודר. לשם כך נוכיח טענה חזקה יותר:

לפני שנוכיח את המשפט, נקדים מספר למות:

{{הוכחה|<math>\alpha\subset\beta</math>, לכן <math>\beta\setminus\alpha\subseteq\beta</math> אינה ריקה. מכיוון ש<math>\beta</math> סודר, הוא סדור היטב ב<math>\in</math>, ויהי <math>\gamma</math> האיבר הראשון ב<math>\beta\setminus\alpha</math>. מתקיים <math>x\in\gamma\Rightarrow x\in\beta\land x\not\in\beta\setminus\alpha\Rightarrow x\in\beta\setminus(\beta\setminus\alpha)=\alpha</math> (מכיוון ש<math>\gamma</math> הוא ראשון, ו<math>\alpha\subset\beta</math>), וכן <math>x\in\alpha\Rightarrow x\in\beta\land x\not\in\beta\setminus\alpha\Rightarrow x\in\gamma</math> (שוב, כי <math>\gamma</math> ראשון). לכן <math>\alpha=\gamma\in\beta</math>.}}

{{הוכחה|נסמן <math>\gamma=\alpha\cap\beta\subseteq\alpha,\beta</math>. נראה כי <math>\gamma</math> הוא סודר:

* טרנזיטיביות הקבוצה: <math>x\in\gamma\Rightarrow x\in\alpha\land x\in\beta\Rightarrow x\subseteq\alpha\land x\subseteq\beta\Rightarrow x\subseteq\gamma</math>.

* השוואה: <math>x,y\in\gamma\Rightarrow x,y\in\alpha\Rightarrow x\in y\lor y\in x\lor x=y</math>.

נניח כי <math>\gamma\not=\alpha,\beta</math>. אז מתקיים <math>\gamma\subset\alpha\land\gamma\subset\beta</math>, לכן <math>\gamma\in\alpha,\beta</math>, כלומר <math>\gamma\in\gamma</math>, בסתירה לאקסיומת היסוד. לכן נניח כי <math>\gamma=\alpha</math>. אם לא מתקיים <math>\alpha=\beta</math>, אז <math>\alpha=\gamma\subset\beta</math>, ולכן <math>\alpha\in\beta</math>.}}

{{הוכחה|נראה את תכונות הסודר:

* טרנזיטיביות הקבוצה: <math>x\in\bigcup E\Rightarrow\exist \alpha\in E,x\in\alpha\Rightarrow x\subseteq\alpha\subseteq\bigcup E</math>.