תורת הקבוצות/עוצמות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
שורה 2:
'''עוצמה''' היא מדד לגודל הקבוצה, גם אם הקבוצה אינסופית. אם הקבוצה סופית, אז עוצמה שלה היא מספר האיברים בה. כך למשל, העוצמה של הקבוצה <math>\{0,1,2\}</math> היא 3, ונסמן <math>|\{0,1,2\}|=3</math>. נאמר שלשתי קבוצות יש את אותה עוצמה, אם הן שקולות, כלומר יש פונקציה חד חד ערכית ועל ביניהן. כך למשל, הפונקציה <math>S:\N\to\N\setminus\{0\}</math> המוגדרת על פי <math>S(n)=n+1</math>, היא חד חד ערכית ועל, לכן נאמר כי <math>|\N|=|\N\setminus\{0\}|</math>. קבוצה תיקרא '''אינסופית''' אם יש לה תת קבוצה ממש בעלת אותה עוצמה. הפונקציה שהבאנו קודם מראה כי קבוצת המספרים הטבעיים אינסופית.
 
{{משפט|שםמספר=משפט 34.10|תוכן=אם <math>|A|=|B|,|C|=|D|</math> והקבוצות <math>A,C</math> זרות ו<math>B,D</math> זרות, אז <math>|A\cup C|=|B\cup D|</math>.}}
הוכחה: יהו <math>f:A\to B,g:C\to D</math> חד חד ערכיות ועל. נגדיר <math>\psi:A\cup C\to B\cup D:\psi(x)=\begin{cases}f(x)&&x\in A\\g(x)&&x\in C\end{cases}</math>. זוהי פונקציה חד חד ערכית ועל.
==<math>\aleph_0</math> וקבוצה בת מנייה==
שורה 8:
כך למשל, <math>\Z</math>, קבוצת המספרים השלמים, היא בת מנייה, כי הפונקציה <math>f:\Z\to\N</math> המוגדרת <math>f(x)=\begin{cases}2x&&x\geq0\\2|x|+1&&x<0\end{cases}</math> היא חד חד ערכית ועל, לכן <math>|\Z|=|\N|=\aleph_0</math>. השם '''קבוצה בת מנייה''' בא לומר שניתן למנות את איברי הקבוצה בזה אחר זה (כלומר, לשכנם בסדרה) בלי לפספס אף איבר. אין משמעות העניין שהמנייה חייבת להסתיים מתישהו, אלא שכל איבר יגיע לאחר מספר סופי של צעדים. המנייה תיעשה על פי <math>f(0),f(1),f(2),...</math> כאשר <math>f:\N\to A</math> היא חד חד ערכית ועל (קיימת כזו כי הקבוצה בת מנייה). אם A סופית, כמובן שניתן למנות את איבריה, בכל סדר שנרצה, ותמיד לא נפספס אף איבר. גם ההיפך נכון - אם ניתן למנות איברי קבוצה בצורה הזו, אז יש פונקציה חד חד ערכית ועל ממנה לקבוצת המספרים הטבעיים: נניח שהמנייה היא <math>a_0,a_1,a_2,...</math> כאשר לכל i, <math>a_i\in A</math>. אז הפונקציה <math>f(a_n)=n</math> היא חד חד ערכית ועל (אם <math>f(a_n)=f(a_m)</math> אז בהכרח <math>n=m</math>. כמו כן, כל מספר טבעי יופיע בתמונת הפונקציה, כי הקבוצה אינסופית והמנייה לא מדלגת על אף מספר טבעי), ואז <math>|A|=\aleph_0</math>.
 
{{משפט|שםמספר=משפט 34.21|תוכן=קבוצה <math>A</math> היא בת מנייה, אם ורק אם קיימת פונקציה <math>f:A\to\N</math> חח"ע.}}
 
'''הוכחה''': נניח שA בת מנייה. אז או שהיא סופית, ואז נסמן <math>A=\{a_0,...,a_n\}</math> את כל איברי A עבור n כלשהו, שהוא <math>|A|+1</math>. הפונקציה <math>f:A\to\N:f(a_i)=i</math> היא חח"ע. המקרה השני הוא ש<math>|A|=\aleph_0</math>, ואז <math>|A|=|\N|</math> ולכן קיימת <math>f:a\to\N</math> חח"ע ועל, ובפרט חח"ע. נניח שקיימת פונקציה חד חד ערכית <math>f:A\to\N</math>. אם A סופית המקרה טריוויאלי. לכן נניח שA אינסופית. נסמן <math>B=\mathrm{Im}(f)</math>. מכיוון שf חח"ע, <math>|B|=|A|</math>, ואז B אינסופית גם כן. נגדיר פונקציה <math>g:B\to\N</math> כך: <math>g(x)=|\{y\in B:y<x\}|</math>. נראה כי פונקציה זו חח"ע: נניח ש<math>x\not=y</math>. נניח ללא הגבלת הכלליות ש<math>x<y</math>. אז <math>x\in\{z\in B:z<y\}</math>, לכן <math>\{z\in B:z<x\}\subset\{z\in B:z<y\}</math>. מכיוון שהקבוצות סופיות, מתקיים <math>|\{z\in B:z<x\}|<|\{z\in B:z<y\}|</math>, לכן <math>g(x)<g(y)</math> ובפרט <math>g(x)\not=g(y)</math>. נראה כי פונקציה זו היא על: נשתמש בכך שלכל קבוצה לא ריקה של מספרים טבעיים, יש איבר ראשון. נוכיח באינדוקציה על n, שיש איבר שn הוא הדמות שלו על ידי g. עבור n=0 - <math>g(a)=0</math> כאשר a הוא האיבר הראשון בקבוצה B. יהי n>0: אז יהי b האיבר הראשון בקבוצה <math>B\setminus\{g^{-1}(x):x<n\}</math> (הקבוצה קיימת על פי הנחת האינדוקציה). אז מתקיים <math>g(b)=n</math>. לכן <math>|A|=|B|=|\N|=\aleph_0</math>, ואז A בת מנייה.
שורה 14:
באמצעות משפט זה נוכל להחליף בכל מקום את "A סופית או שעוצמתה אלף אפס" בנוסח הנוח היותר של "קיימת פונקציה חד חד ערכית בינה לבין קבוצת המספרים הטבעיים".
===איחוד, חיתוך, ומכפלה קרטזית של קבוצות בנות מנייה===
{{משפט|שםמספר=משפט 34.3: 2|שם=איחוד של קבוצות בנות מנייה|תוכן=אם <math>A,B</math> בנות מנייה, אז <math>A\cup B</math> בת מנייה.}}
 
'''הוכחה''': יהו <math>f:A\to\N,g:B\to\N</math> חד חד ערכיות. נגדיר פונקציות <math>p:\N\to2\N,q:\N\to2\N+1</math> (<math>2\N=\{2n:n\in\N\}</math>, וכן <math>2\N+1=\{2n+1:n\in\N\}</math>) על פי <math>p(n)=2n,q(n)=2n+1</math>. שתי פונקציות אלו חד חד ערכיות, ותמונותיהן זרות, לכן נוכל להגדיר פונקציה <math>\psi:A\cup B\to\N</math> על פי <math>\psi(x)=\begin{cases}(p\circ f)(x)&&x\in A\\(q\circ g)(x)&&x\in B\setminus A\end{cases}</math>, שהיא גם כן חד חד ערכית. לכן <math>|A\cup B|=\aleph_0</math>.
 
{{משפט|שםמספר=משפט 34.3.1: |שם=איחוד בן מנייה של קבוצות בנות מנייה|תוכן=אם לכל n טבעי, <math>A_n</math> בת מנייה, אז <math>\bigcup^\infty_{n=0}A_n</math> בת מנייה. נוסח אחר: איחוד בן מנייה של קבוצות בנות מנייה הוא בן מנייה.}}
 
'''הוכחה''': לכל n טבעי, תהי <math>f_n:A_n\to\N</math> חד חד ערכית. נגדיר את הפונקציה <math>f:\bigcup^\infty_{n=0}A_n\to\N</math> על פי <math>f(x)=p_n^{f_n(x)}</math> כאשר <math>x\in A_n</math> ו<math>p_n</math> הוא הראשוני הn. מתכונת הפירוק היחיד של המספרים הטבעיים, נקבל שf חד חד ערכית.
 
{{משפט|שםמספר=משפט 34.4: |שם=חיתוך של קבוצות בנות מנייה|תוכן=חיתוך של קבוצה בת מנייה עם קבוצה כלשהי הוא בן מנייה.}}
 
'''הוכחה''': מתקיים <math>A\cap B\subseteq A</math>, לכן יש פונקציה <math>g:A\cap B\to A</math> חד חד ערכית (על פי <math>g(x)=x</math>). בנוסף, תהי <math>f:A\to\N</math> חד חד ערכית. אז הפונקציה <math>f\circ g</math> חד חד ערכית, לכן <math>A\cap B</math> בת מנייה.
 
{{משפט|שםמספר=משפט 34.5: |שם=מכפלה קרטזית של קבוצות בנות מנייה|תוכן=מכפלה קרטזית של קבוצות בנות מנייה היא בת מנייה.}}
 
'''הוכחה''': נתבונן בקבוצה <math>\N\times\N</math>. נוכל למנות את איבריה כך: [[קובץ:Rationals.png|250px]] לכן <math>|\N\times\N|=\aleph_0</math>. המנייה המתוארת ניתנת לביטוי גם באמצעות הפונקציה: <math>\pi(k_1,k_2) := \frac{1}{2}(k_1 + k_2)(k_1 + k_2 + 1)+k_2.</math>. ראו הוכחה [[w:פונקציית זיווג#היפוך פונקציית הזיווג|כאן]] לכך שהפונקציה חד חד ערכית ועל. כעת, אם <math>f:A\to\N,g:B\to\N</math> חד חד ערכיות, אז הפונקצייה <math>\psi:A\times B\to\N</math> המוגדרת על פי <math>\psi(x,y)=\pi(f(x),g(y))</math> היא חד חד ערכית.
{{משפט|שםמספר=משפט 34.5.1: |שם=מכפלה קרטזית סופית של קבוצות בנות מנייה|תוכן=אם לכל <math>0\le i\le n</math>, <math>A_i</math> בת מנייה, אז <math>\prod^n_{i=0}A_i</math> בת מנייה.}}
את משפט זה קל להוכיח באינדוקציה, ונוותר על ההוכחה כאן.
 
שורה 38:
 
===משפטים נוספים על קבוצות בנות מנייה===
{{משפט|שםמספר=משפט 34.6|תוכן=תת קבוצה של קבוצה בת מנייה היא בת מנייה.}}
 
'''הוכחה''': תהי <math>f:A\to\N</math> חד חד ערכית, ותהי <math>B\subseteq A</math>. אז הפונקציה <math>\psi:B\to\N</math> המגודרת על פי <math>\psi(x)=f(x)</math> היא חד חד ערכית.
 
{{משפט|שםמספר=משפט 34.7|תוכן=לכל קבוצה אינסופית קיימת תת קבוצה שעוצמתה <math>\aleph_0</math>.}}
 
'''הוכחה''': תהי A אינסופית. יהי <math>a_0\in A</math>. לכל n>0, נגדיר את <math>a_n</math> כאיבר כלשהו בקבוצה <math>A\setminus\{a_i:i<n\}</math>. לא ייתכן שקבוצה זו ריקה, כי אז עוצמת הקבוצה A היא n לכל היותר, אבל A אינסופית. לכן האיבר <math>a_n</math> מוגדר. הקבוצה <math>\{a_n:n\in\N\}</math> היא תת קבוצה של A , ועוצמתה <math>\aleph_0</math>.
 
{{משפט|שםמספר=משפט 34.8|תוכן=אם <math>A</math> אינסופית ובת מנייה, אז <math>|A|=\aleph_0</math>.}}
 
'''הוכחה''': A בת מנייה אם ורק אם היא סופית או שעוצמתה <math>\aleph_0</math>. מכיוון שהיא אינה סופית, נסיק ש<math>|A|=\aleph_0</math>.
שורה 83:
 
נביא משפטים נוספים על העוצמות <math>\aleph,\aleph_0</math>.
{{משפטטענה|שםמספר=משפט 34.89|תוכן=<math>\R\setminus\N\sim\R</math>.}}
 
'''הוכחה''': <math>\Z\setminus\N\sim\N</math> (<math>\Z\setminus\N</math> תת קבוצה של <math>\Z</math>, לכן היא בת מנייה, ובנוסף היא אינסופית). תהי <math>f:\Z\to\Z\setminus\N</math> חד חד ערכית ועל. נגדיר <math>g:\R\to\R\setminus\N</math> על פי <math>g(x)=\begin{cases}f(x)&&x\in\Z\\x&&x\in\R\setminus\Z\end{cases}</math>. ניתן לראות בקלות שזו פונקציה חד חד ערכית ועל.
 
{{משפט|שםמספר=משפט 34.910|תוכן=אם <math>|A|=\aleph</math>, ו<math>B</math> בת מנייה, אז <math>|A\setminus B|=\aleph</math>.}}
 
'''הוכחה''': <math>A\setminus B=A\setminus(A\cap B)</math>, לכן מספיק להניח כי <math>B\subset A</math>. <math>A\setminus B</math> אינסופית, לכן תהי <math>C\subset A\setminus B</math> שעוצמתה <math>\aleph_0</math>. <math>C\cup B</math> איחוד של קבוצות בנות מנייה, לכן היא בת מנייה. תהי <math>h:B\cup C\to C</math> חד חד ערכית ועל. נגדיר <math>f:A\setminus B\to A</math> על ידי <math>f(x)=\begin{cases}h(x)&&x\in B\cup C\\x&&\text{else}\end{cases}</math>. משימה לקורא היא להראות שf חד חד ערכית ועל.
 
{{טענה|שםמספר=4.11|תוכן=<math>|\{0,1\}^\N|=\aleph</math>}}
'''הוכחה''': נגדיר פונקציה <math>f:(0,1)\to\{0,1\}^\N</math>: את המספר <math>x\in(0,1)</math> נעביר לכתיב בינארי <math>x=0.x_0x_1x_2...</math> כאשר <math>x_i\in\{0,1\}</math>. מספר שממקום מסוים ואילך יש בו רק אחדות, ניתן להמיר במספר אחר באמצעות <math>0.x_0...x_n111...=0.x_0...x_n+0.\underbrace{00...0}_n11...=0.x_0...x_n+0.\underbrace{00...0}_{n-1}1</math>. כעת נגדיר <math>f(x)=f(0.x_0x_1x_2...)=(x_0,x_1,x_2,...)</math>. ניתן לראות שזו פונקציה חח"ע, לכן <math>(0,1)\sim\mathrm{Im}(f)</math>. אם נסמן את קבוצת הסדרות של אפסים ואחדות עם מופע של אחד ממקום מסוים והלאה או שכל הסדרה אפסים ב<math>\{0,1\}^{\N*}</math>, נקבל <math>|(0,1)|=|\{0,1\}^\N\setminus\{0,1\}^{\N*}|</math>. הקבוצה <math>\{0,1\}^{\N*}</math> היא תת קבוצה של <math>\N^*</math> - קבוצת הסדרות שנעשות קבועות ממקום מסוים, והיא אינסופית, לכן <math>|\{0,1\}^{\N*}|=\aleph_0</math>. נקבל: <math>|\{0,1\}^\N|=|(\{0,1\}^\N\setminus\{0,1\}^{\N*})\cup\{0,1\}^{\N*}|=|(0,1)\cup\N|=|(\R\setminus\N)\cup\N|=|\R|=\aleph
</math>. (השתמשנו במשפט 34.10, ובכך ש<math>|\R\setminus\N|=\aleph</math>)
 
את טענה זו נוכל לנסח גם כ-<math>\mathcal{P}(\N)\sim\R</math>.
שורה 103:
לדוגמה, <math>\aleph_0\leq\aleph</math>, כי הפונקציה <math>f:\N\to\R:f(x)=x</math> חד חד ערכית.
 
{{משפט|שםמספר=משפט 34.10: 12|שם=תכונות של הסדר על עוצמות|תוכן=יחס הסדר <math>\leq</math> על עוצמות מקיים:
# '''רפלקסיביות''': לכל עוצמה <math>\kappa</math> מתקיים <math>\kappa\leq\kappa</math>.
# '''טרנזיטיביות''': <math>\forall \kappa,\lambda,\mu:\kappa\leq\lambda\land\lambda\leq\mu\Rightarrow\kappa\leq\mu</math>.
שורה 112:
# יהו <math>f:A\to B,g:B\to C</math> חד חד ערכיות. אז <math>g\circ f:A\to C</math> חד חד ערכית.
# קיימות הוכחות רבות למשפט, עליהן ניתן לקרוא [[w:משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין|כאן]]. נביא אחת מהן:
::נניח ש-<math>f</math> היא פונקציה חד-חד-ערכית מ-<math>A</math> ל-<math>B</math>, וש-<math>g</math> היא פונקציה חד-חד-ערכית מ-<math>B</math> ל-<math>A</math>. כמו כן נניח, ללא הגבלת הכלליות שהקבוצות <math>A</math> ו-<math>B</math> זרות (נובע ממשפט 34.10). נראה שקיימת התאמה חד-חד-ערכית ועל בין שתי הקבוצות. נבנה עבור כל איבר <math>a</math> של הקבוצה <math>A</math>, וכל איבר <math>b</math> של הקבוצה <math>B</math>, סדרת איברים מ-<math>A</math> ומ-<math>B</math> לסירוגין, כך שכל איבר מתקבל על ידי החלת הפונקציה החד-חד-ערכית המתאימה על האיבר שקודם לו:
 
::::''<math> \cdots \rightarrow f^{-1}(g^{-1}(a)) \rightarrow g^{-1}(a) \rightarrow a \rightarrow f(a) \rightarrow g(f(a)) \rightarrow \cdots </math>''
 
::נשים לב שניתן להמשיך את הסדרה ימינה ללא סוף, אך מאחר ש-<math>f^{-1}</math> ו-<math>g^{-1}</math> לא מוגדרות לכל איברי <math>B</math> ו-<math>A</math> בהתאמה, לא בהכרח ניתן להמשיך את הסדרה שמאלה עד אינסוף. הסדרות יכולות להסתיים משמאל באיבר של <math>A</math>, להסתיים משמאל באיבר של <math>B</math>, או להיות אינסופיות (או מעגליות) לשני הכיוונים. נסווג את הסדרות כ'''סדרות קצה-<math>A</math>''', '''סדרות קצה-<math>B</math>''' או '''סדרות ללא קצה''' בהתאמה. מכיוון ש-<math>f</math> ו-<math>g</math> הן פונקציות חד-חד-ערכיות, לכל איבר בכל אחת מהקבוצות קיימת רק סדרה אחת כזו עד כדי זהות: אם איבר מופיע בשתי סדרות, כל האיברים מימינו ומשמאלו חייבים להיות זהים בשתיהן. הסדרות יוצרות חלוקה של האיחוד של <math>A</math> ו-<math>B</math>. לכן מספיק לבנות פונקציה חד-חד-ערכית ועל מ-<math>A</math> ל-<math>B</math> בכל אחת מהסדרות בנפרד, ואת שאר העבודה יעשה לנו משפט 34.10.
 
::כעת, נבנה את הפונקציה החד-חד-ערכית ועל <math>h</math> מ-<math>A</math> ל-<math>B</math>: עבור איברי <math>A</math> ששייכים לסדרת קצה-<math>A</math>, נגדיר את <math>h(a)</math> כ-<math>f(a) </math> (כלומר, נלך צעד אחד ימינה בסדרה המתאימה לאיבר). עבור איברי <math>A</math> ששייכים לסדרת קצה-<math>B</math>, נגדיר את <math>h(a)</math> כ-<math>g^{-1}(a)</math> (כלומר, נלך צעד אחד שמאלה בסדרה המתאימה לאיבר), ובאותו אופן נגדיר גם את <math>h</math> עבור איברי <math>A</math> ששייכים לסדרה ללא קצה. קל לראות שהפונקציה <math>h</math> היא אכן חד-חד-ערכית ועל.
שורה 127:
 
'''מסקנה''': קיימות אינסוף עוצמות אינסופיות, ולכל עוצמה קיימת עוצמה גדולה ממנה.
{{משפט|שםמספר=משפט 34.1012.1: |שם=תכונות הסדר החזק על עוצמות|תוכן=הסדר החזק <math><</math> על עוצמות מקיים:
# '''אנטי רפלקסיביות''': <math>\forall\kappa,\kappa\not<\kappa</math>.
# '''א-סימטריה''': <math>\kappa<\lambda\Rightarrow\lambda\not<\kappa</math>.
# '''טרנזיטיביות''': <math>\kappa<\lambda\land\lambda<\mu\Rightarrow\kappa<\mu</math>.
# '''השוואה''': <math>\forall\kappa,\lambda:\kappa<\lambda\lor\lambda<\kappa\lor\kappa=\lambda</math>.}}
'''תרגיל''': הוכיחו את משפט 34.1012.1
{{מוסתר|פתרון|2=
# <math>\kappa=\kappa\Rightarrow\kappa\not<\kappa</math>.
שורה 149:
* <math>|2\N|=|2\N+1|=\aleph_0</math>, לכן <math>\aleph_0+\aleph_0=|2\N\cup2\N+1|=|\N|=\aleph_0</math>.
* <math>|\R\setminus\N|=\aleph</math>, לכן <math>\aleph+\aleph_0=\aleph</math>.
{{מוסתר|פתרון|2=ממשפט 34.10 נקבל כי <math>|A|+|B|=|A\cup B|=|C\cup D|=|C|+|D|</math>.}}
{{משפט|משפט 3מספר=4.11: 13|שם=תכונות החיבור|תוכן=החיבור מקיים את התכונות הבאות:
# '''קומוטטיביות''': <math>\kappa+\lambda=\lambda+\kappa</math>.
# '''אסוציאטיביות''': <math>\kappa+(\lambda+\mu)=(\kappa+\lambda)+\mu</math>. מעתה נסמן פשוט <math>\kappa+\lambda+\mu</math>.
# '''איבר אפס''': <math>\kappa+0=\kappa</math>.
# '''איזוטוניות''': <math>\kappa\le\lambda\Rightarrow\kappa+\mu\le\lambda+\mu</math>.}}
'''תרגיל''': הוכיחו את משפט 34.1113.
{{מוסתר|פתרון|2=נגדיר <math>|A|=\kappa,|B|=\lambda,|C|=\mu</math>, כאשר כל הקבוצות זרות.
# <math>\kappa+\lambda=|A|+|B|=|A\cup B|=|B\cup A|=|B|+|A|=\lambda+\kappa</math>.
שורה 170:
* <math>2\aleph_0=|\{0,1\}\times\N|=|\{0\}\times\N\cup\{1\}\times\N|=|\N|+|\N|=\aleph_0+\aleph_0=\aleph_0</math>.
{{מוסתר|פתרון|2=נניח כי <math>f:A\to C,g:B\to D</math> חח"ע ועל. נגדיר <math>h:A\times B\to C\times D</math> על פי <math>h(x,y)=(f(x),g(y))</math>. זוהי פונקציה חח"ע ועל, לכן <math>|A|\cdot|B|=|A\times B|=|C\times D|=|C|\cdot|D|</math>.}}
{{משפט|שםמספר=משפט 34.12: 14|שם=תכונות הכפל|תוכן=פעולת הכפל מקיימת:
# '''קומוטטיביות''': <math>\kappa\lambda=\lambda\kappa</math>.
# '''אסוציאטיביות''': <math>\kappa(\lambda\mu)=(\kappa\lambda)\mu</math>. להבא נאמר פשוט <math>\kappa\lambda</math>.ץ
שורה 177:
# '''איבר מאפס''': <math>0\cdot\kappa=0</math>.
# '''איזוטוניות''': <math>\kappa\leq\lambda\Rightarrow\kappa\mu\le\lambda\mu</math>.}}
'''תרגיל''': הוכיחו את משפט 34.1214.
{{מוסתר|פתרון|2=יהו <math>|A|=\kappa,|B|=\lambda,|C|=\mu</math>.
# נגדיר פונקציה <math>t:A\times B\to B\times A</math> על פי <math>t(x,y)=(y,x)</math>.ניתן לראות בקלות שהיא חח"ע ועל.
שורה 193:
* <math>2^{|A|}=|\{0,1\}^A|=|\mathcal{P}(A)|</math>.
* <math>2^{\aleph_0}=\aleph</math>.
{{משפט|שםמספר=משפט 34.13: 15|שם=תכונות החזקה של עוצמות|תוכן=פעולת החזקה של עוצמות מקיימת:
# <math>\kappa^\lambda\cdot\kappa^\mu=\kappa^{\lambda+\mu}</math>.
# <math>\kappa^\mu\cdot\lambda^\mu=(\kappa\cdot\lambda)^\mu</math>.