תורת הקבוצות/סודרים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 43:
* טרנזיטיביות הסדר: נניח כי <math>x\in y\in z\in\bigcup E</math>. אז קיימים <math>\alpha,\beta,\gamma\in E</math> כך ש<math>x\in\alpha,y\in\beta,z\in\gamma</math>. מלמה 4.5 נוכל להניח <math>\gamma\subseteq\beta\subseteq\alpha</math>, לכן <math>x,y,z\in\alpha</math>, ונקבל <math>x\in y\in z\Rightarrow x\in z</math>.
* השוואה: באותה דרך נוכל להניח כי <math>x,y\in\alpha</math>. לכן <math>x\in y\lor y\in x\lor x=y</math>.}}
==סדר==
{{הגדרה|שם=הסדר על הסודרים|תוכן=נגדיר את הסדר על הסודרים באופן הבא: <math>\alpha<\beta\Leftrightarrow \alpha\in\beta</math>.}}
שילוב העובדה שסודר הוא קבוצה טרנזיטיבית עם למה 5.4 יתן את המשפט הבא:
{{משפט|מספר=5.6|תוכן=<math>\alpha<\beta\Leftrightarrow \alpha\in\beta\Leftrightarrow \alpha\subset\beta</math>.}}
מכאן ואילך נחליף בחופשיות בין הסימונים <math><,\in,\subset</math>.
{{משפט|מספר=5.7|שם=תכונות הסדר על הסודרים|תוכן=הסדר על הסודרים הוא סדר טוב, כלומר:
* אנטי רפלקסיביות: <math>\forall \alpha,\alpha\not<\alpha</math>.
* טרנזיטיביות: <math>\forall \alpha,\beta,\gamma:\alpha<\beta<\gamma\Rightarrow\alpha<\gamma</math>.
* השוואה: <math>\forall \alpha,\beta:(\alpha<\beta)\lor(\beta<\alpha)\lor(\alpha=\beta)</math>.
* תכונת הסדר הטוב: לכל קבוצה לא ריקה של סודרים יש איבר ראשון.}}
{{הוכחה|תוכן=
* אנטי רפלקסיביות: נובע מאקסיומת היסוד כי <math>\alpha\not\in\alpha</math>.
* טרנזיטיביות: <math>\alpha\subset\beta\subset\gamma\Rightarrow\alpha\subset\gamma</math>.
* השוואה: למה 5.5 אומרת בדיוק את טענה זו.
* תכונת הסדר הטוב: התכונה נובעת מאקסיומת היסוד, אך נראה גם דרך למצוא את האיבר הראשון: תהי <math>S</math> קבוצה לא ריקה של סודרים. נגדיר <math>s=\bigcap S=\bigcap_{x\in S}x</math>. נראה כי <math>s</math> הוא האיבר הראשון ב<math>S</math>: יהי <math>a</math> האיבר הראשון ב<math>S</math>, שקיומו מובטח מאקסיומת היסוד. אז מתקיים <math>x\subseteq \alpha</math> לכל <math>\alpha\in S</math>, כלומר <math>a\subseteq\bigcap S=s</math>. מצד שני, <math>s=\bigcap S\subseteq a</math>, כי <math>a\in S</math>, לכן <math>s=a=\min S</math>.}}
הוכחת משפט 5.7 הדגימה כמה נוח המעבר החופשי בין <math><,\in,\subset</math>: בכל סעיף השתמשנו ביחס הנוח ביותר להוכחתו.
| |||