תורת הקבוצות/יחסי סדר: הבדלים בין גרסאות בדף

'''הוכחה''': נניח שקיימת סדרה אינסופית <math>\{a_n\}^\infty_{n=0}</math> המקיימת <math>a_{n+1}\prec a_n</math>. אז הקבוצה <math>S=\{a_n:n\in\N\}</math> היא תת קבוצה של <math>A</math>, ולכל איבר בה יש איבר קטן ממנו, לכן אין בה ראשון, לכן <math>(A,\prec)</math> לא סדורה היטב.

::נניח ש<math>(A,\prec)</math> לא סדורה היטב, אז תהי <math>S\subseteq A</math> לא ריקה שאין בה איבר ראשון. נבחר <math>a_0\in S</math> (קיים כי S לא ריקה). כעת נפעל ברקורסיה ולכל n טבעי, נגדיר את <math>a_n</math> כאיבר בS שקטן מ<math>a_{n-1}</math>. (קיים כי אין ראשון). הסדרה <math>\{a_n\}^\infty_{n=0}</math> היא סדרה יורדת אינסופית.

{{הוכחה|<math>(B,\prec)</math> סדורה מלא, לכן יש להראות רק את תכונת הסדר הטוב. אם היתה ב<math>(B,\prec)</math> סדרה יורדת אינסופית, אז סדרה זו היתה גם ב<math>(A,\prec)</math>, בסתירה לסדר הטוב. לכן אין סדרה אינסופית יורדת ב<math>(B,\prec)</math>, ומהמשפט הקודם נקבל ש<math>(B,\prec)</math> סדורה היטב.}}

נרחיב על סדרים טובים במסגרת '''[[תורת הקבוצות/משפט הסדר הטוב|משפט הסדר הטוב]]''', הקובע כי על כל קבוצה ניתן להגדיר סדר טוב, וכן במסגרת '''[[תורת הקבוצות/אינדוקציה טרנספיניטית|אינדוקציה טרנספיניטית]]''', שהיא שיטה להוכחת תכונות בקבוצה סדורה היטב, המכלילה את הרעיון של אינדוקציה מתמטית.