תורת הקבוצות/סודרים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 64:
{{הוכחה|נניח בשלילה כי <math>\alpha<x<S(\alpha)</math>. אז <math>\alpha\in x</math>, לכן לא יתכן <math>x\in\alpha</math>, ומכך ש<math>x\in S(\alpha)</math> נקבל <math>x\in\{\alpha\}</math>, כלומר <math>x=\alpha</math>, בסתירה לכך ש<math>x<\alpha</math>.}}
{{הגדרה|שם=סודר עוקב; סודר גבולי|תוכן=יהי <math>\alpha</math> סודר. נאמר כי הוא '''סודר עוקב''', אם הוא איבר עוקב (על פי הגדרת איבר עוקב בסדר טוב). נאמר כי הוא '''סודר גבולי''', אם הוא איבר גבולי (על פי הגדרת איבר גבולי בסדר טוב).}}
{{משפט|מספר=5.9|תוכן=יהי <math>\alpha\not=0</math>.
* <math>\alpha</math> הוא גבולי.
{{הוכחה|לכל <math>x<\alpha</math> מתקיים <math>x\subset\alpha</math>, לכן <math>\bigcup_{x<\alpha}x\subseteq\alpha</math>. יהי <math>y\in\alpha</math>. אז <math>S(y)\le\alpha</math>, ומכיוון ש<math>\alpha</math> גבולי, נקבל <math>S(y)\not=\alpha</math>, כלומר <math>S(y)<\alpha</math>. לכן <math>y\in S(y)<\alpha\Rightarrow y\in\bigcup_{x<\alpha}x</math>. לכן <math>\alpha=\bigcup_{x<\alpha}x</math>.}}▼
* <math>\alpha=\bigcup_{x<\alpha}x</math>.
* <math>x<\alpha\Rightarrow S(x)<\alpha</math>.}}
▲{{הוכחה|''ההוכחה בעבודה.'' לכל <math>x<\alpha</math> מתקיים <math>x\subset\alpha</math>, לכן <math>\bigcup_{x<\alpha}x\subseteq\alpha</math>. יהי <math>y\in\alpha</math>. אז <math>S(y)\le\alpha</math>, ומכיוון ש<math>\alpha</math> גבולי, נקבל <math>S(y)\not=\alpha</math>, כלומר <math>S(y)<\alpha</math>. לכן <math>y\in S(y)<\alpha\Rightarrow y\in\bigcup_{x<\alpha}x</math>. לכן <math>\alpha=\bigcup_{x<\alpha}x</math>.}}
{{משפט|מספר=5.10|תוכן=אם <math>E</math> היא קבוצה של סודרים, אז <math>\sup E=\bigcup E</math>.}}
{{הוכחה|לכל <math>\alpha\in E</math> מתקיים <math>\alpha\subseteq\bigcup E</math>. אם <math>M</math> הוא חסם מלעיל של הקבוצה <math>E</math>, אז לכל <math>\alpha\in E</math> מתקיים <math>\alpha\subseteq M</math>, כלומר <math>\bigcup E\subseteq M</math>.}}
==אריתמטיקה==
{{הגדרה|שם=חיבור סודרים|תוכן=יהו <math>\alpha,\beta</math> סודרים. נגדיר את החיבור <math>\alpha+\beta</math> ב[[תורת הקבוצות/אינדוקציה טרנספיניטית|אינדוקציה טרנספיניטית]]:
* <math>\alpha+0=\alpha</math>
* <math>\alpha+S(\beta)=S(\alpha+\beta)</math>
* <math>\alpha+\bigcup_{x<\beta}x=\bigcup_{x<\beta}(\alpha+x)</math>}}
{{משפט|מספר=5.11|תוכן=אם <math>\lambda</math> סודר גבולי, אז <math>\alpha+\lambda</math> סודר גבולי, לכל <math>\alpha</math>.}}
{{הוכחה|נניח בשלילה כי <math>\alpha+\lambda=S(\beta)</math>. אז <math>\beta<S(\beta)=\alpha+\lambda</math>. מההגדרה <math>\alpha+\lambda=\bigcup_{x<\lambda}\alpha+x</math> נובע שקיים <math>x<\lambda</math> כך ש<math>\beta\in\alpha+x</math>. לכן <math>S(\beta)<S(\alpha+x)=\alpha+S(x)</math> (קל להשתכנע כי פונקצית העוקב שומרת סדר). מכיוון ש<math>x<\lambda\Rightarrow S(x)<\lambda</math>, נקבל <math>S(\beta)\in\alpha+S(x)\subseteq\bigcup_{y<\lambda}\alpha+y=\alpha+\lambda=S(\beta)</math>, בסתירה לאקסיומת היסוד.}}
| |||