תורת הקבוצות/סודרים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
||
שורה 68:
* <math>\alpha=\bigcup_{x<\alpha}x</math>.
* <math>x<\alpha\Rightarrow S(x)<\alpha</math>.}}
{{הוכחה|
* יהי <math>\alpha=\bigcup_{x<\alpha}x</math>. נניח שקיים <math>x<\alpha</math> כך ש<math>S(x)\not\in\alpha</math>. לכן <math>S(x)\le\alpha</math>. מצד שני, <math>x<\alpha\Rightarrow S(x)\le\alpha</math>. לכן <math>S(x)=\alpha</math>, כלומר לכל <math>y<\alpha</math> מתקיים <math>y<S(x)</math>, כלומר <math>y\le x</math>, ובמילים אחרות <math>x\not\in y</math>. לכן <math>x\not\in\bigcup_{y<\alpha}y</math>, בסתירה לכך ש<math>x\in\alpha</math>.
* נניח כי <math>\alpha</math> אינו גבולי. אז קיים <math>x</math> כך ש<math>S(x)=\alpha</math>. כלומר <math>x<S(x)=\alpha</math>, אבל <math>S(x)\not<\alpha</math>.}}
{{משפט|מספר=5.10|תוכן=אם <math>E</math> היא קבוצה של סודרים, אז <math>\sup E=\bigcup E</math>.}}
{{הוכחה|לכל <math>\alpha\in E</math> מתקיים <math>\alpha\subseteq\bigcup E</math>. אם <math>M</math> הוא חסם מלעיל של הקבוצה <math>E</math>, אז לכל <math>\alpha\in E</math> מתקיים <math>\alpha\subseteq M</math>, כלומר <math>\bigcup E\subseteq M</math>.}}
==אריתמטיקה==
{{הגדרה|שם=חיבור סודרים|תוכן=יהו <math>\alpha,\beta</math> סודרים. נגדיר את החיבור <math>\alpha+\beta</math> ב[[תורת הקבוצות/אינדוקציה טרנספיניטית|אינדוקציה טרנספיניטית]]:
|