תורת הקבוצות/סודרים: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 80:
* <math>\alpha+S(\beta)=S(\alpha+\beta)</math>
* <math>\alpha+\bigcup_{x<\beta}x=\bigcup_{x<\beta}(\alpha+x)</math>}}
{{משפט|מספר=5.11|שם=תכונות החיבור|תוכן=
# אם <math>\lambda</math> סודר גבולי, אז <math>\alpha+\lambda</math> סודר גבולי, לכל <math>\alpha</math>.}}
# אסוציאטיביות: <math>\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma</math>.
{{הוכחה|נניח בשלילה כי <math>\alpha+\lambda=S(\beta)</math>. אז <math>\beta<S(\beta)=\alpha+\lambda</math>. מההגדרה <math>\alpha+\lambda=\bigcup_{x<\lambda}\alpha+x</math> נובע שקיים <math>x<\lambda</math> כך ש<math>\beta\in\alpha+x</math>. לכן <math>S(\beta)<S(\alpha+x)=\alpha+S(x)</math> (קל להשתכנע כי פונקצית העוקב שומרת סדר). מכיוון ש<math>x<\lambda\Rightarrow S(x)<\lambda</math>, נקבל <math>S(\beta)\in\alpha+S(x)\subseteq\bigcup_{y<\lambda}\alpha+y=\alpha+\lambda=S(\beta)</math>, בסתירה לאקסיומת היסוד.}}
# <math>0</math> הוא איבר נייטרלי: <math>\alpha+0=0+\alpha=\alpha</math>.}}
{{הוכחה|
{{הוכחה|# נניח בשלילה כי <math>\alpha+\lambda=S(\beta)</math>. אז <math>\beta<S(\beta)=\alpha+\lambda</math>. מההגדרה <math>\alpha+\lambda=\bigcup_{x<\lambda}\alpha+x</math> נובע שקיים <math>x<\lambda</math> כך ש<math>\beta\in\alpha+x</math>. לכן <math>S(\beta)<S(\alpha+x)=\alpha+S(x)</math> (קל להשתכנע כי פונקצית העוקב שומרת סדר). מכיוון ש<math>x<\lambda\Rightarrow S(x)<\lambda</math>, נקבל <math>S(\beta)\in\alpha+S(x)\subseteq\bigcup_{y<\lambda}\alpha+y=\alpha+\lambda=S(\beta)</math>, בסתירה לאקסיומת היסוד.}}
#
#}}