תורת הקבוצות/סודרים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
||
שורה 85:
# <math>0</math> הוא איבר נייטרלי: <math>\alpha+0=0+\alpha=\alpha</math>.}}
{{הוכחה|
{{בעבודה}}
# נניח בשלילה כי <math>\alpha+\lambda=S(\beta)</math>. אז <math>\beta<S(\beta)=\alpha+\lambda</math>. מההגדרה <math>\alpha+\lambda=\bigcup_{x<\lambda}\alpha+x</math> נובע שקיים <math>x<\lambda</math> כך ש<math>\beta\in\alpha+x</math>. לכן <math>S(\beta)<S(\alpha+x)=\alpha+S(x)</math> (קל להשתכנע כי פונקצית העוקב שומרת סדר). מכיוון ש<math>x<\lambda\Rightarrow S(x)<\lambda</math>, נקבל <math>S(\beta)\in\alpha+S(x)\subseteq\bigcup_{y<\lambda}\alpha+y=\alpha+\lambda=S(\beta)</math>, בסתירה לאקסיומת היסוד.
# ב[[תורת הקבוצות/אידוקציה טרנספיניטית|אינדוקציה טרנספיניטית]]:
*# <math>\alpha+(\beta+0)=\alpha+\beta=(\alpha+\beta)+0</math>.
*# <math>\alpha+(\beta+S(\gamma))=\alpha+S(\beta+\gamma)+S(\alpha+(\beta+\gamma))=S((\alpha+\beta)+\gamma)=(\alpha+\beta)+S(\gamma)</math>.
*# <math>\alpha+(\beta+\lambda)=\bigcup_{x<\beta+\lambda}\alpha+x</math> (כי <math>\beta+\lambda</math> גבולי), כלומר <math>\alpha+(\beta+\lambda)=\bigcup_{x<\lambda}\alpha+(\beta+x)=\bigcup_{x<\lambda}(\alpha+\beta)+x=(\alpha+\beta)+\lambda</math>. עלינו להצדיק את המעבר <math>\bigcup_{x<\beta+\lambda}\alpha+x=\bigcup_{x<\lambda}\alpha+(\beta+x)</math>:
#}}
| |||