תורת הקבוצות/תורת הקבוצות האקסיומטית: הבדלים בין גרסאות בדף

אין תקציר עריכה
(יצירת דף עם התוכן "{{בעבודה}} התחום שחקרנו עד עתה נקרא '''תורת הקבוצות הנאיבית'''. הוא נקרא כך כי לא ביססנו אותו...")
 
אין תקציר עריכה
{{בעבודה}}
התחום שחקרנו עד עתה נקרא '''תורת הקבוצות הנאיבית'''. הוא נקרא כך כי לא ביססנו אותו אקסיומטית, אלא הגדרנו קבוצה כ"אוסף של איברים", ולא הטלנו מגבלות על מהי קבוצה. בשנים 1895-1901 התגלו שתי סתירות עמוקות בתורת הקבוצות הנאיבית ([[w:הפרדוקס של קנטור|הפרדוקס של קנטור]] ו[[w:הפרדוקס של ראסל|הפרדוקס של ראסל]]) (ראו להלן), שגרמו למתמטיקאים לבסס אקסיומטית את תורת הקבוצות, ולהטיל מגבלות שימנעו את הפרדוקסים.
 
 
את אקסיומת ההיקפיות ניתן להבין גם כמגדירה שוויון, אך גם אז ניאלץ לקבל אותה כאקסיומה, כי המשמעות של שוויון היא שלכל פונקציה <math>f</math> שנחשוב עליה, מתקיים <math>x=y\Rightarrow f(x)=f(y)</math>.
לכן אם נרצה לחשוב על האקסיומה כהגדרה, ניאלץ לקבל את האקסיומה הבאה: <math>x=y\Rightarrow\forall z(x\in z\Leftrightarrow y\in z)</math>.
 
מאקסיומת ההיקפיות ניתן להוכיח, למשל, כי אין משמעות לסדר בין איברי הקבוצה, וכי איבר לא יכול להופיע יותר מפעם אחת באותה קבוצה.
===אקסיומת האיחוד===
ניזכר בהגדרת האיחוד: <math>A\cup B=\{x|x\in A\lor x\in B\}</math>, וכן <math>\bigcup_{\alpha\in A}\alpha=\{x|\exist\alpha\in A,x\in\alpha\}</math>. נרצה שאכן יהיו קיימות קבוצות כאלו, לכן נקבל את אקסיומת האיחוד:
: <math>\forall x\exist y\forall z(z\in y\Leftrightarrow\exist w\in x(z\in w))</math>
מאקסיומת ההיקפיות נובע כי הקבוצה y נקבעת באופן יחיד, ונסמן <math>y=\bigcup_{\alpha\in x}\alpha</math>.
===אקסיומת ההחלפה===
בהינתן קבוצה <math>v</math> ופעולה <math>f</math> על איברי <math>v</math>, נרצה שתהיה קיימת תמונת הפונקציה: <math>\text{Im}(f)=\{f(x)|x\in v\}</math>. לכן ננסח את אקסיומת ההחלפה. אקסיומת ההחלפה אינה אקסיומה יחידה, כי אם סכמת אקסיומות, כלומר אוסף אינסופי של אקסיומות, הנקבע באופן הבא:
: לכל קבוצה <math>v</math> וטענה לוגית <math>\varphi(x,y)</math> בשפה הלוגית של תורת הקבוצות, כך שלכל <math>x\in v</math> קיים <math>y</math> יחיד כך ש<math>\varphi(x,y)</math> היא טענה נכונה, מתקיימת הטענה הבאה:
:: <math>\exist z\forall y((y\in z)\Leftrightarrow\exist x((x\in v)\land\varphi(x,y))</math>
מאקסיומת ההיקפיות נובע שהקבוצה <math>z</math> נקבעת באופן יחיד, ונסמן <math>z=\{y|\exist x((x\in v)\land\varphi(x,y))\}</math>.
 
מאקסיומה זו נובע, למשל, קיום הקבוצה <math>\{a,b\}</math>, לכל שתי קבוצות <math>x,y</math>, בהנחה שקיימת קבוצה <math>v</math> עם לפחות שתי איברים שונים ש<math>\alpha</math> אחד מהם (נובע מאקסיומת האינסוף, שתובא להלן): נגדיר את הטענה <math>\varphi(x,y)\equiv(((x=\alpha)\Rightarrow(y=a))\land ((x\not=\alpha)\Rightarrow(y=b)))</math>. מהאקסיומה נובע שקיימת תמונת הטענה: <math>\{a,b\}</math>.
===אקסיומת קבוצת החזקה===
ניזכר בהגדרת קבוצת החזקה: <math>\mathcal P(A)=\{x|x\subseteq A\}</math>. נרצה שלכל קבוצה x, הקבוצה <math>\mathcal P(x)</math> תהיה קיימת. לכן נקבל את אקסיומת קבוצת החזקה:
: <math>\forall x\exist y\forall z(z\in y\Leftrightarrow\forall w(w\in z\Rightarrow w\in x))</math>
מאקסיומת היסוד נובע כי הקבוצה y נקבעת באופן יחיד, ונסמן <math>y=\mathcal P(x)</math>.
===אקסיומת היסוד===
אקסיומת היסוד היא האקסיומה היחידה במערכת שנכונותה לא מובנת מאליה, כלומר היא אינה אינטואיטיבית. האקסיומה נוסחה כדי למנוע את הפרדוקסים של קנטור וראסל. נוסח האקסיומה הוא:
: <math>\forall x(\exist y(y\in x)\Rightarrow\exist y((y\in x)\land\forall z(z\in x\Rightarrow\lnot(z\in y)))</math>
כלומר לכל קבוצה יש אחד מאיבריה שזר לה.
===אקסיומת הקבוצה האינסופית===
כל האקסיומות של ZFC לא מספיקות כדי להוכיח שקיימת קבוצה אינסופית, ולו אחת. לשם כך נוסחה אקסיומת הקבוצה האינסופית. לפני שנביא את הנוסח נקדים מספר הגדרות: על פי אקסיומת ההחלפה נובע שלכל קבוצה <math>x</math>, קיימת הקבוצה <math>\{x,x\}</math> שאינה אלא <math>\{x\}</math>. לכן קיימת הקבוצה <math>\{x,\{x\}\}</math>, ומאקסיומת האיחוד נובע כי קיימת הקבוצה <math>\bigcup_{\alpha\in\{x,\{x\}\}}\alpha=x\cup\{x\}</math>. לכל קבוצה <math>x</math> נגדיר <math>S(x)=x\cup\{x\}</math>. ניתן להוכיח בנוסף כי קיימת הקבוצה הריקה <math>\empty</math>, ומאקסיומת ההיקפיות נובע כי קיומה נקבע באופן יחיד. לכל קבוצה <math>x</math> נגדיר <math>S(x)=x\cup\{x\}</math>. כעת נביא את נוסח אקסיומת הקבוצה האינסופית:
: <math>\exist S((\empty\in S)\land\forall x((x\not=\empty)\Rightarrow(x\in S\Leftrightarrow\exist y((y\in S)\land(x=S(y))))))</math>
במילים: קיימת קבוצה <math>S</math> כך שהקבוצה הריקה ב<math>S</math>, ולכל <math>x</math> לא ריקה, <math>x\in S</math> אם ורק אם קיים <math>y\in S</math> כך ש<math>S(y)=x</math>. ניתן להוכיח באמצעות אקסיומת היסוד ואקסיומת ההיקפיות כי <math>S</math> נקבעת באופן יחיד, ונסמן <math>S=\N</math> (קבוצת המספרים הטבעיים).
===אקסיומת הבחירה===
אקסיומה זו היא מן השימושיות ביותר בZFC. היא גם האינטואיטיבית מביניהן, וזו שהיו לגביה הכי הרבה מחלוקות. אקסיומת הבחירה קובעת כי בהינתן אוסף של קבוצות לא ריקות, ניתן לבחור איבר מכל קבוצה, גם ללא ידע קודם על הקבוצות (מלבד התכונה שהן לא ריקות). לפני שנביא את ניסוח המשפט, נקדים במספר הגדרות חשובות (שכבר הגדרנו, אך נגדיר באמצעות האקסיומות של ZFC): בהינתן קבוצות <math>x,y</math>, נובע מאקסיומת ההחלפה כי קיימת הקבוצה <math>\{x,y\}</math>, ולכן קיימת גם <math>\{x,\{x,y\}\}</math>\ אותה נסמן <math>(x,y)</math>.
 
בהינתן קבוצות <math>X,Y</math> ולכל <math>y\in Y</math>, נגדיר (על <math>X</math>) את הטענה <math>\varphi_y(x,\alpha)\equiv(\alpha=(x,y))</math>. מאקסיומת ההחלפה נובע שקיימת תמונת הטענה, אותה נסמן <math>X\times\{y\}</math>. נגדיר (על <math>Y</math>) את הטענה <math>\varphi(y,\alpha)\equiv(\alpha=X\times\{y\})</math>. מאקסיומת ההחלפה נובע שקיימת תמונת הטענה, אותה נסמן <math>E</math>. מאקסיומת האיחוד נובע שקיים איחוד הקבוצה ב<math>E</math>, אותו נסמן ב<math>X\times Y</math>.
 
נגדיר <math>(x,y,z)=((x,y),z)</math>. בהינתן קבוצות <math>A,B</math>, פונקציה <math>f:A\to B</math> היא שלשה סדורה <math>(A,B,q)</math> (לא הגדרנו כך פונקציה בפרק [[תורת הקבוצות/פונקציות|פונקציות]], אך הגדרה זו נוחה יותר לצורך ניסוח האקסיומה, והיא שקולה באופן חד-חד-ערכי) כך ש<math>q\subseteq A\times B</math> (כלומר <math>\forall x(x\in q\Rightarrow x\in A\times B)</math>), וכן <math>\forall x(x\in A\Rightarrow\exist y((y\in B)\land((x,y)\in q)\land\forall z(((x,z)\in q)\Rightarrow (z=y))))</math>. מההגדרה נובע כי לכל <math>x\in A</math>, הקבוצה <math>y</math> נקבעת באופן יחיד, ונסמן <math>y=f(x)</math>.
 
כעת נביא את נוסח האקסיומה:
: <math>\forall x\exist\left(f:x\to\bigcup_{\alpha\in x}\alpha\right)\forall y(y\in x\Rightarrow f(y)\in y)</math>
פונקציה כגון זו המתוארת באקסיומה תיקרא '''פונקציית בחירה'''.
426

עריכות