תורת הקבוצות/תורת הקבוצות האקסיומטית: הבדלים בין גרסאות בדף

אין תקציר עריכה
אקסיומה זו היא מן השימושיות ביותר בZFC. היא גם האינטואיטיבית מביניהן, וזו שהיו לגביה הכי הרבה מחלוקות. אקסיומת הבחירה קובעת כי בהינתן אוסף של קבוצות לא ריקות, ניתן לבחור איבר מכל קבוצה, גם ללא ידע קודם על הקבוצות (מלבד התכונה שהן לא ריקות). לפני שנביא את ניסוח המשפט, נקדים במספר הגדרות חשובות (שכבר הגדרנו, אך נגדיר באמצעות האקסיומות של ZFC): בהינתן קבוצות <math>x,y</math>, נובע מאקסיומת ההחלפה כי קיימת הקבוצה <math>\{x,y\}</math>, ולכן קיימת גם <math>\{x,\{x,y\}\}</math>\ אותה נסמן <math>(x,y)</math>.
 
בהינתן קבוצות <math>X,Y</math> ולכל <math>y\in Y</math>, נגדיר (על <math>X</math>) את הטענה <math>\varphi_y(x,\alpha)\equiv(\alpha=(x,y))</math>. מאקסיומת ההחלפה נובע שקיימת תמונת הטענה, אותה נסמן <math>X\times\{y\}</math>. נגדיר (על <math>Y</math>) את הטענה <math>\varphi(y,\alpha)\equiv(\alpha=X\times\{y\})</math>. מאקסיומת ההחלפה נובע שקיימת תמונת הטענה, אותה נסמן <math>E</math>. מאקסיומת האיחוד נובע שקיים איחוד הקבוצההקבוצות ב<math>E</math>, אותו נסמן ב<math>X\times Y</math>.
 
נגדיר <math>(x,y,z)=((x,y),z)</math>. בהינתן קבוצות <math>A,B</math>, פונקציה <math>f:A\to B</math> היא שלשה סדורה <math>(A,B,q)</math> (לא הגדרנו כך פונקציה בפרק [[תורת הקבוצות/פונקציות|פונקציות]], אך הגדרה זו נוחה יותר לצורך ניסוח האקסיומה, והיא שקולה באופן חד-חד-ערכי) כך ש<math>q\subseteq A\times B</math> (כלומר <math>\forall x(x\in q\Rightarrow x\in A\times B)</math>), וכן <math>\forall x(x\in A\Rightarrow\exist y((y\in B)\land((x,y)\in q)\land\forall z(((x,z)\in q)\Rightarrow (z=y))))</math>. מההגדרה נובע כי לכל <math>x\in A</math>, הקבוצה <math>y</math> נקבעת באופן יחיד, ונסמן <math>y=f(x)</math>.
: <math>\forall x\exist\left(f:x\to\bigcup_{\alpha\in x}\alpha\right)\forall y(y\in x\Rightarrow f(y)\in y)</math>
פונקציה כגון זו המתוארת באקסיומה תיקרא '''פונקציית בחירה'''.
==פתרון הסתירות==
===הפרדוקס של קנטור===
הפרדוקס של קנטור עושה שימוש בכך ש<math>A</math> (קבוצת כל הקבוצות) היא קבוצה, ולכן ניתן לדבר על מושגים כגון <math>\mathcal P(A)\subseteq A</math>, וכן <math>|A|<|\mathcal P(A)|</math>.
 
פתרון הפרדוקס יעשה על ידי שנאמר כי <math>A</math> אינה קבוצה, ולכן הביטוי <math>\mathcal P(A)\subseteq A</math> חסר משמעות מכמה סיבות, ביניהן שאקסיומת קבוצת החזקה חלה רק על קבוצות, וכן שלא ניתן לדבר על <math>x\in A</math>, ולכן לא תוגדר ההכלה. גם הביטוי <math>|A|<|\mathcal P(A)|</math> מאבד משמעות. בכל פעם שנרצה לדבר על קבוצת כל הקבוצות, נחליף את המילה קבוצה במילה מחלקה.
===הפרדוקס של ראסל===
הפרדוקס של ראסל עושה שימוש בכך שהקבוצה <math>A=\{x|x\not\in x\}</math> הוא קבוצה, לכן ניתן לדבר על הטענה <math>A\in A</math>. לכל קבוצה <math>x</math>, הפעלת אקסיומת היסוד על הקבוצה <math>\{x\}</math> תראה כי <math>x\not\in x</math>, לכן <math>A</math> היא קבוצת כל הקבוצות, שהסברנו כבר שאינה מוגדרת.
426

עריכות