←אקסיומות
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
||
|
מאקסיומת ההיקפיות נובע שהקבוצה <math>z</math> נקבעת באופן יחיד, ונסמן <math>z=\{y|\exist x((x\in v)\land\varphi(x,y))\}</math>.
מאקסיומה זו נובע, למשל, קיום הקבוצה <math>\{a,b\}</math>, לכל שתי קבוצות <math>x,y</math>
===אקסיומת קבוצת החזקה===
ניזכר בהגדרת קבוצת החזקה: <math>\mathcal P(A)=\{x|x\subseteq A\}</math>. נרצה שלכל קבוצה x, הקבוצה <math>\mathcal P(x)</math> תהיה קיימת. לכן נקבל את אקסיומת קבוצת החזקה:
כלומר לכל קבוצה יש אחד מאיבריה שזר לה.
===אקסיומת הקבוצה האינסופית===
כל האקסיומות של ZFC לא מספיקות כדי להוכיח שקיימת קבוצה אינסופית, ולו אחת. לשם כך נוסחה אקסיומת הקבוצה האינסופית. לפני שנביא את הנוסח נקדים מספר הגדרות: על פי אקסיומת ההחלפה נובע שלכל קבוצה <math>x</math>, קיימת הקבוצה <math>\{x,x\}</math> שאינה אלא <math>\{x\}</math>. לכן קיימת הקבוצה <math>\{x,\{x\}\}</math>, ומאקסיומת האיחוד נובע כי קיימת הקבוצה <math>\bigcup_{\alpha\in\{x,\{x\}\}}\alpha=x\cup\{x\}</math>. לכל קבוצה <math>x</math> נגדיר <math>S(x)=x\cup\{x\}</math>
: <math>\exist S((\empty\in S)\land\forall x((x\not=\empty)\Rightarrow(x\in S\Leftrightarrow\exist y((y\in S)\land(x=S(y))))))</math>
במילים: קיימת קבוצה <math>S</math> כך שהקבוצה הריקה ב<math>S</math>, ולכל <math>x</math> לא ריקה, <math>x\in S</math> אם ורק אם קיים <math>y\in S</math> כך ש<math>S(y)=x</math>. ניתן להוכיח באמצעות אקסיומת היסוד ואקסיומת ההיקפיות כי <math>S</math> נקבעת באופן יחיד, ונסמן <math>S=\N</math> (קבוצת המספרים הטבעיים).
: <math>\forall x\exist\left(f:x\to\bigcup_{\alpha\in x}\alpha\right)\forall y(y\in x\Rightarrow f(y)\in y)</math>
פונקציה כגון זו המתוארת באקסיומה תיקרא '''פונקציית בחירה'''.
==פתרון הסתירות==
===הפרדוקס של קנטור===
| |||