הבדלים בין גרסאות בדף "תורת הקבוצות/אקסיומת הבחירה"

תגית: הפניה חדשה
 
{{#הפניה [[תורת הקבוצות}}/תורת הקבוצות האקסיומטית]]
==רקע והסבר אינטואיטיבי==
התחום שחקרנו עד עתה נקרא '''תורת הקבוצות הנאיבית'''. הוא נקרא כך כי לא ביססנו אותו אקסיומטית, אלא הגדרנו קבוצה כ"אוסף של איברים", ולא הטלנו מגבלות על מהי קבוצה. בשנים 1895-1901 התגלו שתי סתירות עמוקות בתורת הקבוצות הנאיבית ([[w:הפרדוקס של קנטור|הפרדוקס של קנטור]] ו[[w:הפרדוקס של ראסל|הפרדוקס של ראסל]]), שגרמו למתמטיקאים לבסס אקסיומטית את תורת הקבוצות, ולהטיל מגבלות שימנעו את הפרדוקסים. לא נעסוק פה בכל האקסיומות (ניתן לראות אותן [[w:תורת הקבוצות האקסיומטית|כאן]]), אך נעסוק באחת האקסיומות בעלות ההשפעה הכי גדולה על תורת הקבוצות: '''אקסיומת הבחירה'''. אקסיומת הבחירה קובעת כי בהינתן אוסף של קבוצות, ניתן לבחור איבר אחד מכל קבוצה. אין צורך באקסיומה כאשר יש הבדל ידוע מראש בין האיברים, למשל אם הקבוצות סדורות וסופיות ניתן לבחור על ידי הכלל "האיבר הראשון בכל קבוצה". אך אם אין הבדל ידוע מראש, מובנת מאליה ככל שתהא האקסיומה, לא ניתן להוכיח אותה משאר האקסיומות.
==הגדרה פורמלית==
תהי <math>E</math> משפחה של קבוצות (איננו אומרים קבוצה של קבוצות, כי במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית ייתכנו אוספים שאינם קבוצות, ועדיין ברצוננו להחיל עליהם את האקסיומה). קיימת פונקציה <math>f:E\to\bigcup_{X\in E}X</math> המקיימת <math>f(X)\in X</math> לכל <math>X\in E</math>.
==שימושים==
השתמשנו עד עתה באקיומת הבחירה כל הזמן בלי לשים לב. למשל בהוכחת [[תורת הקבוצות/פונקציות#משפטי עזר|משפט 2.4]], הנחנו שניתן לבחור <math>a\in A</math>. בהוכחת [[תורת הקבוצות/עוצמות#משפטים נוספים על קבוצות בנות מנייה|משפט 3.7]], הנחנו שניתן לבחור <math>a_n\in A\setminus\{a_i:i<n\}</math>, וכן בעוד מקומות לרוב. נשתמש באקסיומה זו גם כדי להוכיח את [[תורת הקבוצות/משפט הסדר הטוב|משפט הסדר הטוב]], וכן נוכיח שאם נקבל את המשפט כאקסיומה, נוכל להוכיח את אקסיומת הבחירה.
{{תורת הקבוצות|מוגבל}}
419

עריכות