הבדלים בין גרסאות בדף "תורת הקבוצות/סודרים"

נוספו 4,249 בתים ,  לפני 5 חודשים
* <math>\alpha+\bigcup_{x<\beta}x=\bigcup_{x<\beta}(\alpha+x)</math>}}
{{משפט|מספר=5.11|שם=תכונות החיבור|תוכן=
# <math>0</math> הוא איבר נייטרלי: <math>\alpha+0=0+\alpha=\alpha</math>.
# אם <math>\lambda</math> סודר גבולי, אז <math>\alpha+\lambda</math> סודר גבולי, לכל <math>\alpha</math>.
# אסוציאטיביותאיזוטוניות שמאלית ביחס לסדר חזק: <math>\alpha+(<\beta+\Rightarrow \gamma)=(+\alpha+<\beta)gamma+\gammabeta</math>.
# <math>0</math>איזוטוניות הואימנית איברביחס נייטרלילסדר חלש: <math>\alpha\le\beta\Rightarrow\alpha+0=0\gamma\le\beta+\alpha=\alphagamma</math>.}}
# <math>(\alpha\le \alpha+\beta)\land(\alpha\le\beta+\alpha)</math>.
# אסוציאטיביות: <math>\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma</math>.}}
{{הוכחה|
# התכונה <math>\alpha+0=\alpha</math> ברורה מההגדרה. את התכונה <math>0+\alpha=\alpha</math> נוכיח ב[[תורת הקבוצות/אידוקציה טרנספיניטית|אינדוקציה טרנספיניטית]]:
{{בעבודה}}
*# <math>0+0=0</math> מההגדרה.
*# נניח <math>0+\alpha=\alpha</math>. נקבל <math>0+S(\alpha)=S(0+\alpha)=S(\alpha)</math>.
*# יהי <math>\alpha</math> גבולי, ונניח <math>\forall x<\alpha(0+x=x)</math>. נקבל <math>0+\alpha=\bigcup_{x<\alpha}0+x=\bigcup_{x<\alpha}x=\alpha</math>.
# נניח בשלילה כי <math>\alpha+\lambda=S(\beta)</math>. אז <math>\beta<S(\beta)=\alpha+\lambda</math>. מההגדרה <math>\alpha+\lambda=\bigcup_{x<\lambda}\alpha+x</math> נובע שקיים <math>x<\lambda</math> כך ש<math>\beta\in\alpha+x</math>. לכן <math>S(\beta)<S(\alpha+x)=\alpha+S(x)</math> (קל להשתכנע כי פונקצית העוקב שומרת סדר). מכיוון ש<math>x<\lambda\Rightarrow S(x)<\lambda</math>, נקבל <math>S(\beta)\in\alpha+S(x)\subseteq\bigcup_{y<\lambda}\alpha+y=\alpha+\lambda=S(\beta)</math>, בסתירה לאקסיומת היסוד.
# ב[[תורת הקבוצות/אינדוקציה טרנפיניטית|אינדוקציה טרניספיניטית]] על המשתנה <math>\beta</math>:
*# הטענה <math>\alpha<0</math> לעולם לא נכונה, לכן הטענה <math>\alpha<0\Rightarrow \gamma+\alpha<\gamma+0</math> נכונה באופן ריק.
*# נניח כי <math>\alpha<\beta\Rightarrow \gamma+\alpha<\gamma+\beta</math>. נקבל <math>\alpha<S(\beta)\Rightarrow(\alpha<\beta)\lor(\alpha=\beta)\Rightarrow(\gamma+\alpha<\gamma+\beta<S(\gamma+\beta)=\gamma+S(\beta))\lor(\gamma+\alpha=\gamma+\beta<S(\gamma+\beta)=\gamma+S(\beta))\Rightarrow \gamma+\alpha<\gamma+S(\beta)</math>.
*# יהי <math>\beta</math> גבולי, ונניח כי <math>\forall x<\beta(\alpha<x\Rightarrow\gamma+\alpha<\gamma+x)</math>. נקבל <math>\alpha<\beta=\bigcup_{x<\beta}x\Rightarrow\exist x<\beta(\alpha<x)\Rightarrow\exist x<\beta(\gamma+\alpha<\gamma+x\subseteq\bigcup_{x<\beta}\gamma+x =\gamma+\beta)\Rightarrow\gamma+\alpha<\gamma+\beta</math>.
# ב[[תורת הקבוצות/אינדוקציה טרנפיניטית|אינדוקציה טרניספיניטית]] על המשתנה <math>\gamma</math>:
*# <math>\alpha\le\beta\Rightarrow\alpha+0=\alpha\le\beta=\beta+0</math>.
*# נניח כי <math>\alpha\le\beta\Rightarrow\alpha+\gamma\le\beta+\gamma</math>. לכל סודרים <math>x\le y</math> מתקיים <math>x=y\lor x<y</math>. במקרה הראשון מתקיים <math>S(x)=S(y)</math>, ובמקרה השני <math>y\ge S(x)</math>, כי <math>S(x)</math> הוא ה[[תורת הקבוצות/יחסי סדר#יחס סדר טוב|עוקב המיידי]] של <math>x</math>, ולכן <math>S(y)>y\ge S(x)</math>. בסה"כ בשני המקרים <math>x\le y\Rightarrow S(x)\le S(y)</math>. לכן נקבל: <math>\alpha\le\beta\Rightarrow\alpha+\gamma\le\beta+\gamma\Rightarrow\alpha+S(\gamma)=S(\alpha+\gamma)\le S(\beta+\gamma)=\beta+S(\gamma)</math>.
*# יהי <math>\gamma</math> גבולי, ונניח <math>\alpha\le\beta\Rightarrow\forall x<\gamma(\alpha+x\subseteq\beta+x)</math>. נקבל <math>\alpha\le\beta\Rightarrow\forall x<\gamma(\alpha+x\subseteq\beta+x)\Rightarrow\alpha+\gamma=\bigcup_{x<\gamma}\alpha+x\subseteq\bigcup_{x<\gamma}\beta+x=\beta+\gamma</math>.
# מתקיים <math>\beta\ge0</math>, לכן <math>(\beta>0)\lor(\beta=0)\Rightarrow(\alpha=\alpha+0<\alpha+\beta)\lor(\alpha=\alpha+0=\alpha+\beta)\Rightarrow\alpha\le\alpha+\beta</math>. בנוסף <math>0\le\beta\Rightarrow\alpha=0+\alpha\le\beta+\alpha</math>.
# ב[[תורת הקבוצות/אינדוקציה טרנספיניטית|אינדוקציה טרנספיניטית]]:
*# <math>\alpha+(\beta+0)=\alpha+\beta=(\alpha+\beta)+0</math>.
*# <math>\alpha+(\beta+S(\gamma))=\alpha+S(\beta+\gamma)+S(\alpha+(\beta+\gamma))=S((\alpha+\beta)+\gamma)=(\alpha+\beta)+S(\gamma)</math>.
*# <math>\alpha+(\beta+\lambda)=\bigcup_{x<\beta+\lambda}\alpha+x</math> (כי <math>\beta+\lambda</math> גבולי), כלומר <math>\alpha+(\beta+\lambda)=\bigcup_{x<\lambda}\alpha+(\beta+x)=\bigcup_{x<\lambda}(\alpha+\beta)+x=(\alpha+\beta)+\lambda</math>. עלינו להצדיק את המעבר <math>\bigcup_{x<\beta+\lambda}\alpha+x=\bigcup_{x<\lambda}\alpha+(\beta+x)</math>: לכל <math>x<\lambda</math> מתקיים <math>\beta+x<\beta+\lambda</math> (איזוטוניות שמאלית), לכן קיים <math>y=\beta+x<\beta+\lambda</math> כך ש<math>\alpha+(\beta+x)=\alpha+y\subseteq\alpha+y</math>. לכן <math>\bigcup_{x<\beta+\lambda}\alpha+x\subseteq\bigcup_{y<\lambda}\alpha+(\beta+y)</math>. בנוסף, לכל <math>x<\beta+\lambda=\bigcup_{y<\lambda}\beta+y</math> קיים <math>y<\lambda</math> כך ש <math>x<\beta+y</math>, ולכן <math>\alpha+x\subseteq\alpha+(\beta+y)</math> (איזוטוניות שמאלית, כאשר החלפנו את סימן ה<math><</math> בסימן החלש יותר <math>\subseteq</math>). לכן <math>\bigcup_{x<\beta+\lambda}\alpha+x\subseteq\bigcup_{y<\lambda}\alpha+(\beta+y)</math>, ובסך הכל <math>\bigcup_{x<\lambda}\alpha+(\beta+x)=\bigcup_{x<\beta+\lambda}\alpha+x</math>.}}
#}}
419

עריכות