הבדלים בין גרסאות בדף "תורת הקבוצות/סודרים"

אין שינוי בגודל ,  לפני 5 חודשים
*# יהי <math>\alpha</math> גבולי, ונניח <math>\forall x<\alpha(0+x=x)</math>. נקבל <math>0+\alpha=\bigcup_{x<\alpha}0+x=\bigcup_{x<\alpha}x=\alpha</math>.
# נניח בשלילה כי <math>\alpha+\lambda=S(\beta)</math>. אז <math>\beta<S(\beta)=\alpha+\lambda</math>. מההגדרה <math>\alpha+\lambda=\bigcup_{x<\lambda}\alpha+x</math> נובע שקיים <math>x<\lambda</math> כך ש<math>\beta\in\alpha+x</math>. לכן <math>S(\beta)<S(\alpha+x)=\alpha+S(x)</math> (קל להשתכנע כי פונקצית העוקב שומרת סדר). מכיוון ש<math>x<\lambda\Rightarrow S(x)<\lambda</math>, נקבל <math>S(\beta)\in\alpha+S(x)\subseteq\bigcup_{y<\lambda}\alpha+y=\alpha+\lambda=S(\beta)</math>, בסתירה לאקסיומת היסוד.
# ב[[תורת הקבוצות/אינדוקציה טרנפיניטיתטרנספיניטית|אינדוקציה טרניספיניטיתטרנספיניטית]] על המשתנה <math>\beta</math>:
*# הטענה <math>\alpha<0</math> לעולם לא נכונה, לכן הטענה <math>\alpha<0\Rightarrow \gamma+\alpha<\gamma+0</math> נכונה באופן ריק.
*# נניח כי <math>\alpha<\beta\Rightarrow \gamma+\alpha<\gamma+\beta</math>. נקבל <math>\alpha<S(\beta)\Rightarrow(\alpha<\beta)\lor(\alpha=\beta)\Rightarrow(\gamma+\alpha<\gamma+\beta<S(\gamma+\beta)=\gamma+S(\beta))\lor(\gamma+\alpha=\gamma+\beta<S(\gamma+\beta)=\gamma+S(\beta))\Rightarrow \gamma+\alpha<\gamma+S(\beta)</math>.
*# יהי <math>\beta</math> גבולי, ונניח כי <math>\forall x<\beta(\alpha<x\Rightarrow\gamma+\alpha<\gamma+x)</math>. נקבל <math>\alpha<\beta=\bigcup_{x<\beta}x\Rightarrow\exist x<\beta(\alpha<x)\Rightarrow\exist x<\beta(\gamma+\alpha<\gamma+x\subseteq\bigcup_{x<\beta}\gamma+x =\gamma+\beta)\Rightarrow\gamma+\alpha<\gamma+\beta</math>.
# ב[[תורת הקבוצות/אינדוקציה טרנפיניטיתטרנספיניטית|אינדוקציה טרניספיניטיתטרנספיניטית]] על המשתנה <math>\gamma</math>:
*# <math>\alpha\le\beta\Rightarrow\alpha+0=\alpha\le\beta=\beta+0</math>.
*# נניח כי <math>\alpha\le\beta\Rightarrow\alpha+\gamma\le\beta+\gamma</math>. לכל סודרים <math>x\le y</math> מתקיים <math>x=y\lor x<y</math>. במקרה הראשון מתקיים <math>S(x)=S(y)</math>, ובמקרה השני <math>y\ge S(x)</math>, כי <math>S(x)</math> הוא ה[[תורת הקבוצות/יחסי סדר#יחס סדר טוב|עוקב המיידי]] של <math>x</math>, ולכן <math>S(y)>y\ge S(x)</math>. בסה"כ בשני המקרים <math>x\le y\Rightarrow S(x)\le S(y)</math>. לכן נקבל: <math>\alpha\le\beta\Rightarrow\alpha+\gamma\le\beta+\gamma\Rightarrow\alpha+S(\gamma)=S(\alpha+\gamma)\le S(\beta+\gamma)=\beta+S(\gamma)</math>.
419

עריכות