תורת הקבוצות/סודרים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
||
שורה 89:
{{הוכחה|
# התכונה <math>\alpha+0=\alpha</math> ברורה מההגדרה. את התכונה <math>0+\alpha=\alpha</math> נוכיח ב[[תורת הקבוצות/אידוקציה טרנספיניטית|אינדוקציה טרנספיניטית]]:
# נניח בשלילה כי <math>\alpha+\lambda=S(\beta)</math>. אז <math>\beta<S(\beta)=\alpha+\lambda</math>. מההגדרה <math>\alpha+\lambda=\bigcup_{x<\lambda}\alpha+x</math> נובע שקיים <math>x<\lambda</math> כך ש<math>\beta\in\alpha+x</math>. לכן <math>S(\beta)<S(\alpha+x)=\alpha+S(x)</math> (קל להשתכנע כי פונקצית העוקב שומרת סדר). מכיוון ש<math>x<\lambda\Rightarrow S(x)<\lambda</math>, נקבל <math>S(\beta)\in\alpha+S(x)\subseteq\bigcup_{y<\lambda}\alpha+y=\alpha+\lambda=S(\beta)</math>, בסתירה לאקסיומת היסוד.
# ב[[תורת הקבוצות/אינדוקציה טרנספיניטית|אינדוקציה טרנספיניטית]] על המשתנה <math>\beta</math>:
# ב[[תורת הקבוצות/אינדוקציה טרנספיניטית|אינדוקציה טרנספיניטית]] על המשתנה <math>\gamma</math>:
# מתקיים <math>\beta\ge0</math>, לכן <math>(\beta>0)\lor(\beta=0)\Rightarrow(\alpha=\alpha+0<\alpha+\beta)\lor(\alpha=\alpha+0=\alpha+\beta)\Rightarrow\alpha\le\alpha+\beta</math>. בנוסף <math>0\le\beta\Rightarrow\alpha=0+\alpha\le\beta+\alpha</math>.
# ב[[תורת הקבוצות/אינדוקציה טרנספיניטית|אינדוקציה טרנספיניטית]]:
|