תורת הקבוצות/סודרים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
||
שורה 76:
==אריתמטיקה==
===חיבור===
{{הגדרה|שם=חיבור סודרים|תוכן=יהו <math>\alpha,\beta</math> סודרים. נגדיר את
* <math>\alpha+0=\alpha</math>
* <math>\alpha+S(\beta)=S(\alpha+\beta)</math>
* <math>\alpha+\
{{משפט|מספר=5.11|שם=תכונות החיבור|תוכן=
# <math>0</math> הוא איבר נייטרלי: <math>\alpha+0=0+\alpha=\alpha</math>.
שורה 106 ⟵ 107:
## <math>\alpha+(\beta+S(\gamma))=\alpha+S(\beta+\gamma)+S(\alpha+(\beta+\gamma))=S((\alpha+\beta)+\gamma)=(\alpha+\beta)+S(\gamma)</math>.
## <math>\alpha+(\beta+\lambda)=\bigcup_{x<\beta+\lambda}\alpha+x</math> (כי <math>\beta+\lambda</math> גבולי), כלומר <math>\alpha+(\beta+\lambda)=\bigcup_{x<\lambda}\alpha+(\beta+x)=\bigcup_{x<\lambda}(\alpha+\beta)+x=(\alpha+\beta)+\lambda</math>. עלינו להצדיק את המעבר <math>\bigcup_{x<\beta+\lambda}\alpha+x=\bigcup_{x<\lambda}\alpha+(\beta+x)</math>: לכל <math>x<\lambda</math> מתקיים <math>\beta+x<\beta+\lambda</math> (איזוטוניות שמאלית), לכן קיים <math>y=\beta+x<\beta+\lambda</math> כך ש<math>\alpha+(\beta+x)=\alpha+y\subseteq\alpha+y</math>. לכן <math>\bigcup_{x<\beta+\lambda}\alpha+x\subseteq\bigcup_{y<\lambda}\alpha+(\beta+y)</math>. בנוסף, לכל <math>x<\beta+\lambda=\bigcup_{y<\lambda}\beta+y</math> קיים <math>y<\lambda</math> כך ש <math>x<\beta+y</math>, ולכן <math>\alpha+x\subseteq\alpha+(\beta+y)</math> (איזוטוניות שמאלית, כאשר החלפנו את סימן ה<math><</math> בסימן החלש יותר <math>\subseteq</math>). לכן <math>\bigcup_{x<\beta+\lambda}\alpha+x\subseteq\bigcup_{y<\lambda}\alpha+(\beta+y)</math>, ובסך הכל <math>\bigcup_{x<\lambda}\alpha+(\beta+x)=\bigcup_{x<\beta+\lambda}\alpha+x</math>.}}
כדוגמה, נחשב את <math>1+\omega</math>: מכיוון ש<math>\omega</math> גבולי, נקבל <math>1+\omega=\bigcup_{n<\omega}1+n=1\cup2\cup3\cup...=\omega</math>. דוגמה זו מראה שאין קומוטטיביות, כי <math>1+\omega=\omega\not=S(\omega)=S(\omega+0)=\omega+S(0)=\omega+1</math>.
נשים לב שלכל סודר מתקיים <math>\alpha+1=\alpha+S(0)=S(\alpha+0)=S(\alpha)</math>. תכונה זו מאפשרת להחליף בכל מקום את <math>S(\alpha)</math> ב<math>\alpha+1</math>, וכך להפוך את הכתיבה לנוחה יותר. למשל הגדרת החיבור מחדש תהיה <math>\alpha+(\beta+1)=(\alpha+\beta)+1</math>.
===כפל===
{{הגדרה|שם=כפל סודרים|תוכן=יהו <math>\alpha,\beta</math> סודרים. נגדיר את המכפלה <math>\alpha\cdot\beta</math> (בקיצור: <math>\alpha\beta</math>) ב[[תורת הקבוצות/אינדוקציה טרנספיניטית|אידוקציה טרנספיניטית]]:
* <math>\alpha\cdot0=0</math>
* <math>\alpha\cdot(\beta+1)=\alpha\cdot\beta+\alpha</math>
* <math>\alpha\cdot\lambda=\bigcup_{x<\lambda}\alpha\cdot x</math> כאשר <math>\lambda</math> גבולי.}}
{{משפט|מספר=5.12|שם=תכונות הכפל|תוכן=
# <math>1</math> הוא איבר נייטרלי: <math>\alpha\cdot1=1\cdot\alpha=\alpha</math>.
# איזוטוניות שמאלית ביחס לסדר חזק: <math>\alpha<\beta\Rightarrow\gamma\alpha<\gamma\beta</math>.
# איזוטוניות ימנית ביחס לסדר חלש: <math>\alpha\le\beta\Rightarrow\alpha\gamma\le\beta\gamma</math>.
# דיסטריבוטיביות: <math>\alpha(\beta+\gamma)=\alpha\beta+\alpha\gamma</math>.
# אסוציאטיביות: <math>\alpha(\beta\gamma)=(\alpha\beta)\gamma</math>.}}
| |||