תורת הקבוצות/סודרים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
||
שורה 118:
{{משפט|מספר=5.12|שם=תכונות הכפל|תוכן=
# <math>1</math> הוא איבר נייטרלי: <math>\alpha\cdot1=1\cdot\alpha=\alpha</math>.
#
# איזוטוניות שמאלית ביחס לסדר חזק: <math>(\alpha<\beta)\land(\gamma\not=0)\Rightarrow\gamma\alpha<\gamma\beta</math>.
# איזוטוניות ימנית ביחס לסדר חלש: <math>\alpha\le\beta\Rightarrow\alpha\gamma\le\beta\gamma</math>.
# דיסטריבוטיביות: <math>\alpha(\beta+\gamma)=\alpha\beta+\alpha\gamma</math>.
# אסוציאטיביות: <math>\alpha(\beta\gamma)=(\alpha\beta)\gamma</math>.}}
{{הוכחה|
# <math>\alpha\cdot1=\alpha(0+1)=\alpha\cdot0+\alpha=0+\alpha=\alpha</math>. נוכיח ב[[תורת הקבוצות/אינדוקציה טרנספיניטית|אינדוקציה טרנספיניטית]] כי <math>1\cdot\alpha=\alpha</math>:
## <math>1\cdot0=0</math> מההגדרה.
## נניח כי <math>1\cdot\alpha=\alpha</math>. נקבל <math>1\cdot(\alpha+1)=1\cdot\alpha+1=\alpha+1</math>.
## יהי <math>\alpha</math> גבולי, ונניח כי <math>\forall x<\alpha,1\cdot x=x</math>. נקבל <math>1\cdot\alpha=\bigcup_{x<\alpha}1\cdot x=\bigcup_{x<\alpha}x=\alpha</math>.
#
# ב[[תורת הקבוצות/אינדוקציה טרנספיניטית|אינדוקציה טרנספיניטית]] על המשתנה <math>\beta</math>.
## הטענה <math>\alpha<0</math> תמיד לא נכונה, לכן הטענה <math>(\alpha<0)\land(\gamma\neq0)\Rightarrow\gamma\alpha<\gamma\cdot0</math> מתקיימת באופן ריק.
## נניח כי <math>(\alpha<\beta)\land(\gamma\neq0)\Rightarrow\gamma\alpha<\gamma\beta</math>. נקבל <math>(\alpha<\beta+1)\land(\gamma\neq0)\Rightarrow((\alpha<\beta)\lor(\alpha=\beta))\land(\gamma\ne0)\Rightarrow((\alpha<\beta)\land(\gamma\ne0))\lor((\alpha=\beta)\land(\gamma\ne0))\Rightarrow(\gamma\alpha<\gamma\beta=\gamma\beta+0<\gamma\beta+\gamma=\gamma(\beta+1))\lor(\gamma\alpha=\gamma\beta=\gamma\beta+0<\gamma\beta+\gamma=\gamma(\beta+1))\Rightarrow\gamma\alpha<\gamma(\beta+1)</math>.
| |||