הבדלים בין גרסאות בדף "תורת הקבוצות/תורת הקבוצות האקסיומטית"

 
במילים: קיימת קבוצה <math>S</math> כך שהקבוצה הריקה ב<math>S</math>, ולכל <math>x</math> לא ריקה, <math>x\in S</math> אם ורק אם קיים <math>y\in S</math> כך ש<math>S(y)=x</math>. ניתן להוכיח באמצעות אקסיומת היסוד ואקסיומת ההיקפיות כי <math>S</math> נקבעת באופן יחיד, ונסמן <math>S=\N</math> (קבוצת המספרים הטבעיים).
===אקסיומת הבחירה===
אקסיומה זו היא מן השימושיות ביותר בZFC. היא גם האינטואיטיבית מביניהן, וזו שהיו לגביה הכי הרבה מחלוקות. אקסיומת הבחירה קובעת כי בהינתן אוסף של קבוצות לא ריקות, ניתן לבחור איבר מכל קבוצה, גם ללא ידע קודם על הקבוצות (מלבד התכונה שהן לא ריקות). לפני שנביא את ניסוח המשפט, נקדים במספר הגדרות חשובות (שכבר הגדרנו, אך נגדיר באמצעות האקסיומות של ZFC): בהינתן קבוצות <math>x,y</math>, נובע מאקסיומת ההחלפה כי קיימת הקבוצה <math>\{x,y\}</math>, וכן קיימת הקבוצה <math>\{x,x\}=\{x\}</math>, ולכן קיימת גם <math>\{\{x\},\{x,y\}\}</math> אותה נסמן <math>(x,y)</math>.
 
בהינתן קבוצות <math>X,Y</math> ולכל <math>y\in Y</math>, נגדיר (על <math>X</math>) את הטענה <math>\varphi_y(x,\alpha)\equiv(\alpha=(x,y))</math>. מאקסיומת ההחלפה נובע שקיימת תמונת הטענה, אותה נסמן <math>X\times\{y\}</math>. נגדיר (על <math>Y</math>) את הטענה <math>\varphi(y,\alpha)\equiv(\alpha=X\times\{y\})</math>. מאקסיומת ההחלפה נובע שקיימת תמונת הטענה, אותה נסמן <math>E</math>. מאקסיומת האיחוד נובע שקיים איחוד הקבוצות ב<math>E</math>, אותו נסמן ב<math>X\times Y</math>.
419

עריכות