הבדלים בין גרסאות בדף "תורת הקבוצות/סודרים"

נוספו 1,456 בתים ,  לפני 5 חודשים
{{משפט|מספר=5.12|שם=תכונות הכפל|תוכן=
# <math>1</math> הוא איבר נייטרלי: <math>\alpha\cdot1=1\cdot\alpha=\alpha</math>.
# אם <math>\lambda0</math> גבוליהוא אזאיבר מאפס: <math>\alpha\lambda</math> גבולי, לכל <math>cdot0=0\cdot\alpha=0</math>.
# אם <math>\lambda</math> גבולי אז <math>\alpha\lambda</math> גבולי, לכל <math>\alpha\ne0</math>.
# איזוטוניות שמאלית ביחס לסדר חזק: <math>(\alpha<\beta)\land(\gamma\not=0)\Rightarrow\gamma\alpha<\gamma\beta</math>.
# איזוטוניות ימנית ביחס לסדר חלש: <math>\alpha\le\beta\Rightarrow\alpha\gamma\le\beta\gamma</math>.
## נניח כי <math>1\cdot\alpha=\alpha</math>. נקבל <math>1\cdot(\alpha+1)=1\cdot\alpha+1=\alpha+1</math>.
## יהי <math>\alpha</math> גבולי, ונניח כי <math>\forall x<\alpha,1\cdot x=x</math>. נקבל <math>1\cdot\alpha=\bigcup_{x<\alpha}1\cdot x=\bigcup_{x<\alpha}x=\alpha</math>.
# <math>\alpha\cdot0=0</math> מההגדרה. נוכיח ב[[תורת הקבוצות/אינדוקציה טרנספיניטית|אינדוקציה טרנספיניטית]] על המשתנהכי <math>0\betacdot\alpha=0</math>.:
#
## <math>0\cdot0=0</math> מההגדרה.
# ב[[תורת הקבוצות/אינדוקציה טרנספיניטית|אינדוקציה טרנספיניטית]] על המשתנה <math>\beta</math>.
## נניח כי <math>0\cdot\alpha=0</math>. נקבל <math>0\cdot(\alpha+1)=0\cdot\alpha+0=0+0=0</math>.
## יהי <math>\alpha</math> גבולי, ונניח כי <math>\forall x<\alpha,0\cdot x=0</math>. נקבל <math>0\cdot\alpha=\bigcup_{x<\alpha}0\cdot x=\bigcup_{x<\alpha}0=0</math>.
# יהי <math>x<\alpha\lambda=\bigcup_{y<\lambda}\alpha y</math>. אז קיים <math>y<\lambda</math> כך ש <math>x<\alpha y</math>. לכן <math>x+1\le\alpha y+1\le\alpha y+\alpha=\alpha(y+1)<\alpha(y+1)+\alpha=\alpha(y+1+1)\subseteq\bigcup_{z<\lambda}\alpha z=\alpha\lambda</math>. (הסתמכנו על כך ש <math>\alpha\ne0</math>, לכן <math>\alpha\ge1</math>, וכן על חוקי האיזוטוניות.)
# ב[[תורת הקבוצות/אינדוקציה טרנספיניטית|אינדוקציה טרנספיניטית]] על המשתנה <math>\beta</math>:
## הטענה <math>\alpha<0</math> תמיד לא נכונה, לכן הטענה <math>(\alpha<0)\land(\gamma\neq0)\Rightarrow\gamma\alpha<\gamma\cdot0</math> מתקיימת באופן ריק.
## נניח כי <math>(\alpha<\beta)\land(\gamma\neq0)\Rightarrow\gamma\alpha<\gamma\beta</math>. נקבל <math>(\alpha<\beta+1)\land(\gamma\neq0)\Rightarrow((\alpha<\beta)\lor(\alpha=\beta))\land(\gamma\ne0)\Rightarrow((\alpha<\beta)\land(\gamma\ne0))\lor((\alpha=\beta)\land(\gamma\ne0))\Rightarrow(\gamma\alpha<\gamma\beta=\gamma\beta+0<\gamma\beta+\gamma=\gamma(\beta+1))\lor(\gamma\alpha=\gamma\beta=\gamma\beta+0<\gamma\beta+\gamma=\gamma(\beta+1))\Rightarrow\gamma\alpha<\gamma(\beta+1)</math>.}}
## יהי <math>\beta</math> גבולי, ונניח כי <math>\forall x<\beta((\alpha<x)\land(\gamma\ne0)\Rightarrow\gamma\alpha<\gamma x)</math>. נקבל <math>(\alpha<\beta=\bigcup_{x<\beta}x)\land(\gamma\ne0)\Rightarrow\exist x<\beta((\alpha<x)\land(\gamma\ne0))\Rightarrow\exist x<\beta(\gamma\alpha<\gamma x=\gamma x+0\in\gamma x+\gamma=\gamma(x+1)\subseteq\bigcup_{y<\beta}\gamma y=\gamma\beta</math>.
}}
419

עריכות