תורת הקבוצות/סודרים: הבדלים בין גרסאות בדף

# אסוציאטיביות: <math>\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma</math>.}}

{{הוכחה|

## <math>0+0=0</math> מההגדרה.

## נניח <math>0+\alpha=\alpha</math>. נקבל <math>0+S(\alpha)=S(0+\alpha)=S(\alpha)</math>.

## נניח כי <math>(\alpha<\beta)\land(\gamma\neq0)\Rightarrow\gamma\alpha<\gamma\beta</math>. נקבל <math>(\alpha<\beta+1)\land(\gamma\neq0)\Rightarrow((\alpha<\beta)\lor(\alpha=\beta))\land(\gamma\ne0)\Rightarrow((\alpha<\beta)\land(\gamma\ne0))\lor((\alpha=\beta)\land(\gamma\ne0))\Rightarrow(\gamma\alpha<\gamma\beta=\gamma\beta+0<\gamma\beta+\gamma=\gamma(\beta+1))\lor(\gamma\alpha=\gamma\beta=\gamma\beta+0<\gamma\beta+\gamma=\gamma(\beta+1))\Rightarrow\gamma\alpha<\gamma(\beta+1)</math>.

## יהי <math>\beta</math> גבולי, ונניח כי <math>\forall x<\beta((\alpha<x)\land(\gamma\ne0)\Rightarrow\gamma\alpha<\gamma x)</math>. נקבל <math>(\alpha<\beta=\bigcup_{x<\beta}x)\land(\gamma\ne0)\Rightarrow\exist x<\beta((\alpha<x)\land(\gamma\ne0))\Rightarrow\exist x<\beta(\gamma\alpha<\gamma x=\gamma x+0\in\gamma x+\gamma=\gamma(x+1)\subseteq\bigcup_{y<\beta}\gamma y=\gamma\beta</math>.

}}