הבדלים בין גרסאות בדף "תורת הקבוצות/סודרים"

* לכל תת קבוצה <math>S\subseteq\alpha</math> לא ריקה, יש איבר ראשון בקבוצה הסדורה <math>(S,\in)</math>.}}
{{משפט|מספר=5.0|תוכן=אם <math>\alpha</math> סדורה מלא ב<math>\in</math>, אז היא סדורה היטב ב<math>\in</math>.}}
{{הוכחה|נניח ש<math>(\alpha,\in)</math> סדורה מלא. תהי <math>S\subseteq \alpha</math> לא ריקה. מ[[תורת הקבוצות/תורת הקבוצות האקסיומטית#אקסיומת היסוד|אקסיומת היסוד]] נובע שקיים <math>s\in S</math> כך שלכל <math>x\in S</math> מתקיים <math>x\not\in s</math>. מכיוון ש<math>(A,\in)</math> סדורה מלא, מתקיים <math>(s\in x)\lor(s=x)</math>, לכן לכל <math>x\not=s</math> מתקיים <math>s\in x</math>, כלומר <math>s</math> איבר ראשון ב<math>(S,\in)</math>. לכן <math>(\alpha,\in)</math> סדורה היטב.}}
לפני שניגש להוכחת המשפט, נביא אקסיומה חשובה ושימושית ממערכת האקסיומות של [[w:תורת הקבוצות האקסיומטית|ZFC]] - מערכת אקסיומות של תורת הקבוצות האקסיומטית:
{{מבנה תבנית|
כותרת ={{#תנאי:{{{מספר|}}}|&#32; {{{מספר}}}}} {{#תנאי:{{{שם|אקסיומת היסוד}}}|&#32; אקסיומת היסוד}}|
הסבר = לכל קבוצה x אם x לא ריקה אז יש איבר <math>y\in x</math> כך שלכל <math>z\in x</math> מתקיים <math>z\not\in y</math>.
}}
כעת נוכל להוכיח את משפט 5.0:
{{הוכחה|מאקסיומת היסוד נובע שלא קיימת סדרת שייכות יורדת אינסופית, כלומר סדרה מהצורה <math>x_0\ni x_1\ni x_2\ni...</math>, כי אם היתה, אז הקבוצה <math>\{x_n:n\in\N\}</math> היתה סותרת את אקסיומת היסוד. נניח ש<math>(A,\in)</math> סדורה מלא. אז מ[[תורת הקבוצות/יחסי סדר#יחס סדר טוב|משפט על יחסים טובים]] נקבל ש<math>(A,\in)</math> סדורה היטב.}}
{{משפט|מספר=5.1|תוכן=כל איבר של סודר הוא סודר בעצמו.}}
{{הוכחה|נניח ש <math>\alpha</math> סודר, וכן <math>\beta\in\alpha</math>. מהטרנזיטיביות של <math>\alpha</math> נקבל <math>\beta\subseteq\alpha</math>. תת קבוצה של קבוצה סדורה היטב היא קבוצה סדורה היטב, לכן צריך להוכיח רק ש<math>\beta</math> טרנזיטיבית. מכיוון שהיחס <math>\in</math> על <math>\alpha</math> הוא טרנזיטיבי, נקבל <math>x\in y\in\beta\Rightarrow x\in\beta</math>.}}
{{משפט|מספר=5.2|תוכן=אם <math>\alpha</math> סודר, אז <math>S(\alpha)</math> סודר.}}
{{הוכחה|יהי <math>x\in S(\alpha)</math>. אז <math>x\in\alpha</math> או <math>x=\alpha</math>. במקרה הראשון נקבל <math>x\subseteq\alpha\subseteq S(\alpha)</math>. במקרה השני נקבל <math>x=\alpha\subseteq S(\alpha)</math>. בכל מקרה <math>S(\alpha)</math> קבוצה טרנזיטיבית. נראה ש <math>(S(\alpha),\in)</math> סדורה היטב. לצורך כך יש להראות גם כי היא סדורה מלא:
# '''אנטי רפלקסיביות''': נפעיל את [[תורת הקבוצות/תורת הקבוצות האקסיומטית#אקסיומת היסוד|אקסיומת היסוד]] על <math>\{x\}</math>, ונקבל <math>x\not\in x</math>.
# '''טרנזיטיביות''': <math>x\in y\in z\Rightarrow x\in y\subseteq z\Rightarrow x\in z</math> (כי y הוא סודר).
# '''השוואה''': נניח ש<math>x,y\in S(\alpha),x\not=y</math>. אז או שאחד מהם הוא <math>\alpha</math>, נניח y, ואז <math>x\in S(\alpha)\setminus\{\alpha\}=\alpha=y</math>, או ש<math>x,y\not=\alpha</math>, ואז <math>x,y\in\alpha</math>, ולכן מתקיימת תכונת ההשוואה כי <math>\alpha</math> סודר.}}
לפני שנוכיח את המשפט, נקדים מספר למות:
{{למה|מספר=5.4|תוכן=אם <math>\alpha\subset\beta</math> סודרים, אז <math>\alpha\in\beta</math>.}}
{{הוכחה|<math>\alpha\subset\beta</math>, לכן <math>\beta\setminus\alpha\subseteq\beta</math> אינה ריקה. מכיוון ש<math>\beta</math> סודר, הוא סדור היטב ב<math>\in</math>, ויהי <math>\gamma</math> האיבר הראשון ב<math>\beta\setminus\alpha</math>. מתקיים <math>x\in\gamma\Rightarrow x\in\beta\land x\not\in\beta\setminus\alpha\Rightarrow x\in\beta\setminus(\beta\setminus\alpha)=\alpha</math> (מכיוון ש<math>\gamma</math> הוא ראשון, ו<math>\alpha\subset\beta</math>), וכןכלומר <math>\gamma\subseteq\alpha</math>. לכל <math>x\in\alpha\Rightarrow x,\ y\in\beta\landsetminus\alpha</math> מתקיים <math>y\not\in x</math> (אחרת מהטרנזיטיביות של <math>\alpha</math> נובע <math>y\in\alpha</math>) וכן <math>y\not=x</math> (אחרת <math>y\in\alpha</math>), ומכך שהיחס <math>\in</math> על <math>\beta</math> הוא מלא, נקבל <math>\forall y\in\beta\setminus\alpha(\Rightarrowforall x\in\gammaalpha, x\in y)</math>, (שובכלומר <math>\forall y\in\beta\setminus\alpha,\alpha\subseteq y</math> כיובפרט <math>\alpha\subseteq\gamma</math> ראשון). לכן <math>\alpha=\gamma\in\beta</math>.}}
{{למה|מספר=5.5|תוכן=לכל <math>\alpha,\beta</math> סודרים, מתקיים <math>\alpha\in\beta\lor\beta\in\alpha\lor\alpha=\beta</math>.}}
{{הוכחה|נסמן <math>\gamma=\alpha\cap\beta\subseteq\alpha,\beta</math>. נראה כי <math>\gamma</math> הוא סודר:
* טרנזיטיביות הסדר: נניח כי <math>x\in y\in z\in\bigcup E</math>. אז קיימים <math>\alpha,\beta,\gamma\in E</math> כך ש<math>x\in\alpha,y\in\beta,z\in\gamma</math>. מלמה 4.5 נוכל להניח <math>\gamma\subseteq\beta\subseteq\alpha</math>, לכן <math>x,y,z\in\alpha</math>, ונקבל <math>x\in y\in z\Rightarrow x\in z</math>.
* השוואה: באותה דרך נוכל להניח כי <math>x,y\in\alpha</math>. לכן <math>x\in y\lor y\in x\lor x=y</math>.}}
 
==סדר==
{{הגדרה|שם=הסדר על הסודרים|תוכן=נגדיר את הסדר על הסודרים באופן הבא: <math>\alpha<\beta\Leftrightarrow \alpha\in\beta</math>.}}
419

עריכות