תורת הקבוצות/סודרים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
||
שורה 141:
## נניח כי <math>\alpha\le\beta\Rightarrow\alpha\gamma\le\beta\gamma</math>. נקבל <math>\alpha\le\beta\Rightarrow\alpha(\gamma+1)=\alpha\gamma+\alpha\le\beta\gamma+\alpha\le\beta\gamma+\beta=\beta(\gamma+1)</math>.
## יהי <math>\gamma</math> גבולי, ונניח כי <math>\alpha\le\beta\Rightarrow\forall x<\gamma(\alpha x\le\beta x)</math>. נקבל <math>\alpha\le\beta\Rightarrow\forall x<\gamma(\alpha x\le\beta x)\Rightarrow\alpha\gamma=\bigcup_{x<\gamma}\alpha x\le\bigcup_{x<\gamma}\beta x=\beta\gamma</math>.
# עבור <math>\alpha=0</math> הטענה ברורה. נניח <math>\alpha>0</math>, ונוכיח באינדוקציה על המשתנה <math>\gamma</math>:
## <math>\alpha(\beta+0)=\alpha\beta=\alpha\beta+0=\alpha\beta+\alpha\cdot0</math>.
## נניח כי <math>\alpha(\beta+\gamma)=\alpha\beta+\alpha\gamma</math>. נקבל <math>\alpha(\beta+\gamma+1)=\alpha(\beta+\gamma)+\alpha=\alpha\beta+\alpha\gamma+\alpha=\alpha\beta+\alpha(\gamma+1)</math>.
## יהי <math>\gamma</math> גבולי, ונניח כי <math>\forall x<\gamma(\alpha(\beta+x)=\alpha\beta+\alpha x)</math>. נקבל: <math>\beta+\gamma</math> גבולי, לכן <math>\alpha(\beta+\gamma)=\bigcup_{x<\beta+\gamma}\alpha x</math>. אם נוכיח כי <math>\bigcup_{x<\beta+\gamma}\alpha x=\bigcup_{x<\gamma}\alpha(\beta+x)</math>, נקבל <math>\alpha(\beta+\gamma)=\bigcup_{x<\gamma}\alpha(\beta+x)=\bigcup_{x<\gamma}\alpha\beta+\alpha x</math>. אם נוכיח כי <math>\bigcup_{x<\gamma}\alpha\beta+\alpha x=\bigcup_{x<\alpha\gamma}\alpha\beta+x</math>, נקבל (מכיוון ש<math>\alpha\gamma</math> גבולי, כי הנחנו <math>\alpha>0</math>) <math>\alpha(\beta+\gamma)=\bigcup_{x<\alpha\gamma}\alpha\beta+x=\alpha\beta+\alpha\gamma</math>. כעת נראה כי <math>\bigcup_{x<\beta+\gamma}\alpha x=\bigcup_{y<\gamma}\alpha(\beta+y)</math>: לכל <math>x<\beta+\gamma=\bigcup_{y<\gamma}\beta+y</math> קיים <math>y<\gamma</math> כך ש<math>x<\beta+y</math>, כלומר <math>\alpha x<\alpha(\beta+y)</math> (כי <math>\alpha\not=0</math>), לכן <math>\bigcup_{x<\beta+\gamma}\alpha x\subseteq\bigcup_{y<\gamma}\alpha(\beta+y)</math>. לכל <math>y<\gamma</math> מתקיים <math>\beta+y<\beta+\gamma</math>, לכן קיים <math>x=\beta+y<\beta+\gamma</math> כך ש<math>\alpha x=\alpha(\beta+y)</math>, לכן <math>\bigcup_{y<\gamma}\alpha(\beta+y)\subseteq\bigcup_{x<\beta+\gamma}\alpha x</math>. בסך הכל <math>\bigcup_{x<\beta+\gamma}\alpha x=\bigcup_{y<\gamma}\alpha(\beta+y)</math>. כעת נראה כי <math>\bigcup_{x<\gamma}\alpha\beta+\alpha x=\bigcup_{y<\alpha\gamma}\alpha\beta+y</math>: לכל <math>x<\gamma</math> מתקיים <math>\alpha x<\alpha\gamma</math> (כי <math>\alpha>0</math>), לכן קיים <math>y=\alpha x<\alpha\gamma</math> כך ש<math>\alpha\beta+y=\alpha\beta+\alpha x</math>, לכן <math>\bigcup_{x<\gamma}\alpha\beta+\alpha x\subseteq\bigcup_{y<\alpha\gamma}\alpha\beta+y</math>. לכל <math>y<\alpha\gamma=\bigcup_{x<\gamma}\alpha x</math> קיים <math>x<\gamma</math> כך ש<math>y<\alpha x</math>. לכן <math>\alpha\beta+y<\alpha\beta+\alpha x</math>, לכן <math>\bigcup_{y<\alpha\gamma}\alpha\beta+y\subseteq\bigcup_{x<\gamma}\alpha\beta+\alpha x</math>. בסך הכל <math>\bigcup_{x<\gamma}\alpha\beta+\alpha x=\bigcup_{y<\alpha\gamma}\alpha\beta+y</math>.
}}
| |||