הבדלים בין גרסאות בדף "תורת הקבוצות/סודרים"

נוספו 1,991 בתים ,  לפני 5 חודשים
## נניח כי <math>\alpha(\beta+\gamma)=\alpha\beta+\alpha\gamma</math>. נקבל <math>\alpha(\beta+\gamma+1)=\alpha(\beta+\gamma)+\alpha=\alpha\beta+\alpha\gamma+\alpha=\alpha\beta+\alpha(\gamma+1)</math>.
## יהי <math>\gamma</math> גבולי, ונניח כי <math>\forall x<\gamma(\alpha(\beta+x)=\alpha\beta+\alpha x)</math>. נקבל: <math>\beta+\gamma</math> גבולי, לכן <math>\alpha(\beta+\gamma)=\bigcup_{x<\beta+\gamma}\alpha x</math>. אם נוכיח כי <math>\bigcup_{x<\beta+\gamma}\alpha x=\bigcup_{x<\gamma}\alpha(\beta+x)</math>, נקבל <math>\alpha(\beta+\gamma)=\bigcup_{x<\gamma}\alpha(\beta+x)=\bigcup_{x<\gamma}\alpha\beta+\alpha x</math>. אם נוכיח כי <math>\bigcup_{x<\gamma}\alpha\beta+\alpha x=\bigcup_{x<\alpha\gamma}\alpha\beta+x</math>, נקבל (מכיוון ש<math>\alpha\gamma</math> גבולי, כי הנחנו <math>\alpha>0</math>) <math>\alpha(\beta+\gamma)=\bigcup_{x<\alpha\gamma}\alpha\beta+x=\alpha\beta+\alpha\gamma</math>. כעת נראה כי <math>\bigcup_{x<\beta+\gamma}\alpha x=\bigcup_{y<\gamma}\alpha(\beta+y)</math>: לכל <math>x<\beta+\gamma=\bigcup_{y<\gamma}\beta+y</math> קיים <math>y<\gamma</math> כך ש<math>x<\beta+y</math>, כלומר <math>\alpha x<\alpha(\beta+y)</math> (כי <math>\alpha\not=0</math>), לכן <math>\bigcup_{x<\beta+\gamma}\alpha x\subseteq\bigcup_{y<\gamma}\alpha(\beta+y)</math>. לכל <math>y<\gamma</math> מתקיים <math>\beta+y<\beta+\gamma</math>, לכן קיים <math>x=\beta+y<\beta+\gamma</math> כך ש<math>\alpha x=\alpha(\beta+y)</math>, לכן <math>\bigcup_{y<\gamma}\alpha(\beta+y)\subseteq\bigcup_{x<\beta+\gamma}\alpha x</math>. בסך הכל <math>\bigcup_{x<\beta+\gamma}\alpha x=\bigcup_{y<\gamma}\alpha(\beta+y)</math>. כעת נראה כי <math>\bigcup_{x<\gamma}\alpha\beta+\alpha x=\bigcup_{y<\alpha\gamma}\alpha\beta+y</math>: לכל <math>x<\gamma</math> מתקיים <math>\alpha x<\alpha\gamma</math> (כי <math>\alpha>0</math>), לכן קיים <math>y=\alpha x<\alpha\gamma</math> כך ש<math>\alpha\beta+y=\alpha\beta+\alpha x</math>, לכן <math>\bigcup_{x<\gamma}\alpha\beta+\alpha x\subseteq\bigcup_{y<\alpha\gamma}\alpha\beta+y</math>. לכל <math>y<\alpha\gamma=\bigcup_{x<\gamma}\alpha x</math> קיים <math>x<\gamma</math> כך ש<math>y<\alpha x</math>. לכן <math>\alpha\beta+y<\alpha\beta+\alpha x</math>, לכן <math>\bigcup_{y<\alpha\gamma}\alpha\beta+y\subseteq\bigcup_{x<\gamma}\alpha\beta+\alpha x</math>. בסך הכל <math>\bigcup_{x<\gamma}\alpha\beta+\alpha x=\bigcup_{y<\alpha\gamma}\alpha\beta+y</math>.
# <math>\beta\not=0\Rightarrow\beta\ge1</math>, לכן <math>\alpha=\alpha\cdot1\le\alpha\beta</math> וכן <math>\alpha=1\cdot\alpha\le\beta\alpha</math>.
# אם <math>\alpha</math> או <math>\beta</math> שווים ל<math>0</math>, הטענה ברורה. לכן נניח <math>(\alpha>0)\land(\beta>0)</math> ונוכיח באינדוקציה על <math>\gamma</math>:
## <math>\alpha(\beta\cdot0)=\alpha\cdot0=0=(\alpha\beta)\cdot0</math>
## נניח כי <math>\alpha(\beta\gamma)=(\alpha\beta)\gamma</math>, ונקבל <math>\alpha(\beta(\gamma+1))=\alpha(\beta\gamma+\beta)=\alpha(\beta\gamma)+\alpha\beta=(\alpha\beta)\gamma+\alpha\beta=(\alpha\beta)(\gamma+1)</math>.
## יהי <math>\gamma</math> גבולי, ונניח כי <math>\forall x<\gamma(\alpha(\beta x)=(\alpha\beta)x)</math>. נקבל: <math>\beta\gamma</math> גבולי (כי <math>\beta>0</math>), לכן <math>\alpha(\beta\gamma)=\bigcup_{x<\beta\gamma}\alpha x</math>. אם נוכיח כי <math>\bigcup_{x<\beta\gamma}\alpha x=\bigcup_{x<\gamma}\alpha(\beta x)</math>, נקבל <math>\alpha(\beta\gamma)=\bigcup_{x<\gamma}\alpha(\beta x)=\bigcup_{x<\gamma}(\alpha\beta)x=(\alpha\beta)\gamma</math>. כעת נוכיח כי <math>\bigcup_{x<\beta\gamma}\alpha x=\bigcup_{y<\gamma}\alpha(\beta y)</math>: לכל <math>x<\gamma</math> מתקיים <math>\beta x<\beta\gamma</math> (כי הנחנו <math>\beta>0</math>), לכן קיים <math>y=\beta x<\beta\gamma</math> כך ש<math>\alpha (\beta x)=\alpha y</math>, לכן <math>\bigcup_{x<\gamma}\alpha(\beta x)\subseteq\bigcup_{y<\beta\gamma}\alpha y</math>. לכל <math>y<\beta\gamma=\bigcup_{x<\gamma}\beta x</math> קיים <math>x<\gamma</math> כך ש<math>y<\beta x</math>, כלומר <math>\alpha y<\alpha(\beta x)</math> (כי הנחנו <math>\alpha>0</math>), לכן <math>\bigcup_{x<\gamma}\alpha(\beta x)\subseteq\bigcup_{y<\beta\gamma}\alpha y</math>. בסך הכל <math>\bigcup_{x<\gamma}\alpha(\beta x)=\bigcup_{y<\beta\gamma}\alpha y</math>.
}}
419

עריכות