הבדלים בין גרסאות בדף "תורת הקבוצות/הלמה של צורן"

'''תהי <math>(A,\preceq)</math> קבוצה סדורה חלקית. אם לכל שרשרת ב<math>A</math> יש חסם מלעיל (כלומר קיים <math>c\in A</math> כך ש<math>x\preceq c</math> לכל <math>x\in C</math>), אז יש לפחות מקסימום אחד ב<math>A</math>.'''
==הוכחה==
נניח בשלילה שלכל <math>x\in A</math> קיים <math>y\in A</math> כך ש<math>y\succ x</math>. כלומר הקבוצה <math>\{y|y\succ x\}</math> לא ריקה. מאקסיומתמ[[תורת הקבוצות/תורת הקבוצות האקסיומטית#אקסיומת הבחירה|אקסיומת הבחירה]] קיימת פונקציה המתאימה לכל קבוצה כזו אחד מאיבריה. הרכבת הפונקציה על הפונקציה <math>x\mapsto\{y|y\succ x\}</math> תתן פונקציה <math>f:A\to A</math> כך ש<math>f(x)\succ x</math> לכל <math>x\in A</math>.
{{בעבודה}}
נניח בשלילה שלכל <math>x\in A</math> קיים <math>y\in A</math> כך ש<math>y\succ x</math>. כלומר הקבוצה <math>\{y|y\succ x\}</math> לא ריקה. מאקסיומת הבחירה קיימת פונקציה המתאימה לכל קבוצה כזו אחד מאיבריה. הרכבת הפונקציה על הפונקציה <math>x\mapsto\{y|y\succ x\}</math> תתן פונקציה <math>f:A\to A</math> כך ש<math>f(x)\succ x</math> לכל <math>x\in A</math>.
 
תהי <math>\mathcal C</math> קבוצת כל השרשרות ב<math>A</math>. מהנתון לכל <math>C\in\mathcal C</math>, הקבוצה <math>\{x|\forall c\in C,c\preceq x\}</math> לא ריקה, לכן קיימת פונקציה המתאימה לכל קבוצה כזו אחד מאיבריה. הרכבת הפונקציה על הפונקציה <math>C\mapsto\{x|\forall c\in C,c\preceq x\}</math> תתן את הפונקציה <math>g:\mathcal C\to A</math> עבורה <math>g(C)\succeq c</math> לכל <math>c\in C\in\mathcal C</math>.
בהגדרתנו את הפונקציה על סודרים גבוליים, הנחנו כי <math>h[\lambda]=\{h(x)|x<\lambda\}</math> היא שרשרת ולכן ניתן להפעיל עליה את הפונקציה <math>g</math>. נראה זאת באמצעות שנוכיח כי הפונקציה היא שומרת סדר (כלומר <math>\alpha<\beta\Rightarrow h(\alpha)\prec h(\beta)</math>) עד <math>\lambda</math> (כלומר לכל <math>x,y\in\lambda</math> מתקיים <math>x<y\Rightarrow h(x)\prec h(y)</math>), ולכן לכל <math>x,y\in h[\lambda]</math> מתקיים <math>(x<y)\lor(x>y)\lor( x=y)\Rightarrow( h(x)\prec h(y))\lor( h(x)\succ h(y))\lor( h(x)=hx(y))</math>. נוכיח זאת באינדוקציה טרנספיניטית: עבור <math>\lambda=0</math>, הטענה מתקיימת באופן ריק. נניח נכונות עבור <math>\alpha</math>, ונוכיח עבור <math>S(\alpha)</math>: אם <math>x,y\in\alpha</math>, העניין ברור. לכן נניח כי <math>x\in\alpha,y=\alpha</math>. אם <math>\alpha=S(\beta)</math> עוקב, אז <math>x<\alpha\Rightarrow x\le \beta\Rightarrow h(x)\preceq h(\beta)\prec f(h(\beta))=h(\alpha)</math>. אם <math>\alpha=\bigcup_{\zeta<\alpha}\zeta</math> גבולי, אז <math>x<\alpha</math> גורר את <math>h(x)\in h[\alpha]</math>, ומכיוון ש<math>h(\alpha)=f(g(h[\alpha]))\succ g(h[\alpha])</math>, ו<math>g(h[\alpha])</math> חסם מלעיל של <math>h[\alpha]</math>, נקבל <math>h(x)\prec h(\alpha)</math>. כעת נניח כי <math>\lambda=\bigcup_{\zeta<\lambda}\zeta</math> גבולי. אז <math>x,y\in\lambda=\bigcup_{\zeta<\lambda}\zeta\Rightarrow\exist\alpha,\beta<\lambda:x\in\alpha\land y\in\beta\Rightarrow x,y\in\max\{\alpha,\beta\}<\lambda</math>, ומהנחת התכונה לכל <math>\zeta<\lambda</math>, היא מתקיימת בפרט עבור <math>\zeta:=\max\{\alpha,\beta\}</math>, ולכן <math>x<y\Rightarrow h(x)\prec h(y)</math>.
 
כשהוכחנו שהפונקציה מוגדרת, הוכחנו גם כי היא שומרת סדר, ובפרט חד-חד-ערכית (כי אם <math>x\not=y</math>, אז או <math>x<y</math>, ואז <math>h(x)\prec h(y)\Rightarrow h(x)\not= h(y)</math>, או ש<math>y<x</math>, ואז <math>h(y)\prec h(x)\Rightarrow h(x)\not=h(y)</math>). נגדיר על הקבוצה <math>A</math> את הנוסחההטענה <math>\varphiphi(x,y)\equiv((\exist\alpha(h(\alpha)=x)\Rightarrow y=x)\land(\lnot\exist\alpha(h(\alpha)=x)\Rightarrow y=p))</math>. עלמ[[תורת הקבוצות/תורת הקבוצות האקסיומטית#אקסיומת ההחלפה|אקסיומת ההחלפה]] נובע כי קיימת תמונת הטענה, אותה פינסמן <math>\text{Im}(h)</math>. קל לראות שלכל <math>x\in\text{Im}(yh)</math> קיים סודר <math>\alpha</math> כך ש<math>h(\alpha)=x</math>, ומכך ש<math>h</math> חד חד ערכית נובע ש<math>\alpha</math> באופן יחיד. לכן הגדרת הטענה <math>\varphi(x,\alpha)\equiv(h(\alpha)=x)</math> על הקבוצה <math>\text{Im}(h)</math> תגרור, באמצעות אקסיומת ההחלפה, את קיום תמונת הטענה. כל סודר <math>\alpha</math> הוא בתמונת הטענה, כי מתקיים <math>\varphi(h(\alpha),\alpha)</math>, לכן תמונת הטענה היא מחלקת כל הסודרים <math>\text{On}</math>. מצד שני, מ[[תורת הקבוצות/סודרים#הפרדוקס של בורלי-פורטי|הפרדוקס של בורלי פורטי]] (טרם נכתב) נובע כי <math>\text{On}</math> אינה קבוצה. סתירה.
419

עריכות