תורת הקבוצות/הלמה של צורן: הבדלים בין גרסאות בדף

'''תהי <math>(A,\preceq)</math> קבוצה סדורה חלקית. אם לכל שרשרת ב<math>A</math> יש חסם מלעיל (כלומר קיים <math>c\in A</math> כך ש<math>x\preceq c</math> לכל <math>x\in C</math>), אז יש לפחות מקסימום אחד ב<math>A</math>.'''

==הוכחה==

 

תהי <math>\mathcal C</math> קבוצת כל השרשרות ב<math>A</math>. מהנתון לכל <math>C\in\mathcal C</math>, הקבוצה <math>\{x|\forall c\in C,c\preceq x\}</math> לא ריקה, לכן קיימת פונקציה המתאימה לכל קבוצה כזו אחד מאיבריה. הרכבת הפונקציה על הפונקציה <math>C\mapsto\{x|\forall c\in C,c\preceq x\}</math> תתן את הפונקציה <math>g:\mathcal C\to A</math> עבורה <math>g(C)\succeq c</math> לכל <math>c\in C\in\mathcal C</math>.

בהגדרתנו את הפונקציה על סודרים גבוליים, הנחנו כי <math>h[\lambda]=\{h(x)|x<\lambda\}</math> היא שרשרת ולכן ניתן להפעיל עליה את הפונקציה <math>g</math>. נראה זאת באמצעות שנוכיח כי הפונקציה היא שומרת סדר (כלומר <math>\alpha<\beta\Rightarrow h(\alpha)\prec h(\beta)</math>) עד <math>\lambda</math> (כלומר לכל <math>x,y\in\lambda</math> מתקיים <math>x<y\Rightarrow h(x)\prec h(y)</math>), ולכן לכל <math>x,y\in h[\lambda]</math> מתקיים <math>(x<y)\lor(x>y)\lor( x=y)\Rightarrow( h(x)\prec h(y))\lor( h(x)\succ h(y))\lor( h(x)=hx(y))</math>. נוכיח זאת באינדוקציה טרנספיניטית: עבור <math>\lambda=0</math>, הטענה מתקיימת באופן ריק. נניח נכונות עבור <math>\alpha</math>, ונוכיח עבור <math>S(\alpha)</math>: אם <math>x,y\in\alpha</math>, העניין ברור. לכן נניח כי <math>x\in\alpha,y=\alpha</math>. אם <math>\alpha=S(\beta)</math> עוקב, אז <math>x<\alpha\Rightarrow x\le \beta\Rightarrow h(x)\preceq h(\beta)\prec f(h(\beta))=h(\alpha)</math>. אם <math>\alpha=\bigcup_{\zeta<\alpha}\zeta</math> גבולי, אז <math>x<\alpha</math> גורר את <math>h(x)\in h[\alpha]</math>, ומכיוון ש<math>h(\alpha)=f(g(h[\alpha]))\succ g(h[\alpha])</math>, ו<math>g(h[\alpha])</math> חסם מלעיל של <math>h[\alpha]</math>, נקבל <math>h(x)\prec h(\alpha)</math>. כעת נניח כי <math>\lambda=\bigcup_{\zeta<\lambda}\zeta</math> גבולי. אז <math>x,y\in\lambda=\bigcup_{\zeta<\lambda}\zeta\Rightarrow\exist\alpha,\beta<\lambda:x\in\alpha\land y\in\beta\Rightarrow x,y\in\max\{\alpha,\beta\}<\lambda</math>, ומהנחת התכונה לכל <math>\zeta<\lambda</math>, היא מתקיימת בפרט עבור <math>\zeta:=\max\{\alpha,\beta\}</math>, ולכן <math>x<y\Rightarrow h(x)\prec h(y)</math>.