תורת הקבוצות/הלמה של צורן: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
||
שורה 2:
==ניסוח==
ראשית נגדיר מושג חשוב:
{{הגדרה|שם=שרשרת|תוכן=תהי <math>(A,\preceq)</math> קבוצה סדורה חלקית לא ריקה. נאמר כי <math>C\subseteq A</math> היא '''שרשרת''', אם <math>(C,\preceq\!\!|_C)</math> סדורה מלא. (כאשר <math>\preceq\!\!|_C=\preceq\cap(C\times C)</math> הוא הצמצום של הסדר לתת הקבוצה <math>C</math>.)}}
כעת נביא את נוסח הלמה:
'''תהי <math>(A,\preceq)</math> קבוצה סדורה חלקית. אם לכל שרשרת ב<math>A</math> יש חסם מלעיל (כלומר קיים <math>c\in A</math> כך ש<math>x\preceq c</math> לכל <math>x\in C</math>), אז יש לפחות מקסימום אחד ב<math>A</math>.'''
==הוכחה==
נניח בשלילה שלכל <math>x\in A</math> קיים <math>y\in A</math> כך ש<math>y\succ x</math>. כלומר הקבוצה <math>\{y|y\succ x\}</math> לא ריקה. מ[[תורת הקבוצות/תורת הקבוצות האקסיומטית#אקסיומת הבחירה|אקסיומת הבחירה]] קיימת פונקציה המתאימה לכל קבוצה כזו אחד מאיבריה. הרכבת הפונקציה על הפונקציה <math>x\mapsto\{y|y\succ x\}</math> תתן פונקציה <math>f:A\to A</math> כך ש<math>f(x)\succ x</math> לכל <math>x\in A</math>.
| |||