תורת הקבוצות/סודרים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
||
שורה 120:
# איזוטוניות שמאלית ביחס לסדר חזק: <math>(\alpha<\beta)\land(\gamma\not=0)\Rightarrow\gamma\alpha<\gamma\beta</math>.
# איזוטוניות ימנית ביחס לסדר חלש: <math>\alpha\le\beta\Rightarrow\alpha\gamma\le\beta\gamma</math>.
# דיסטריבוטיביות ימנית: <math>\alpha(\beta+\gamma)=\alpha\beta+\alpha\gamma</math>.
# <math>\beta\ne0\Rightarrow(\alpha\le\alpha\beta)\land(\alpha\le\beta\alpha)</math>.
# אסוציאטיביות: <math>\alpha(\beta\gamma)=(\alpha\beta)\gamma</math>.}}
שורה 151:
## יהי <math>\gamma</math> גבולי, ונניח כי <math>\forall x<\gamma(\alpha(\beta x)=(\alpha\beta)x)</math>. נקבל: <math>\beta\gamma</math> גבולי (כי <math>\beta>0</math>), לכן <math>\alpha(\beta\gamma)=\bigcup_{x<\beta\gamma}\alpha x</math>. אם נוכיח כי <math>\bigcup_{x<\beta\gamma}\alpha x=\bigcup_{x<\gamma}\alpha(\beta x)</math>, נקבל <math>\alpha(\beta\gamma)=\bigcup_{x<\gamma}\alpha(\beta x)=\bigcup_{x<\gamma}(\alpha\beta)x=(\alpha\beta)\gamma</math>. כעת נוכיח כי <math>\bigcup_{x<\beta\gamma}\alpha x=\bigcup_{y<\gamma}\alpha(\beta y)</math>: לכל <math>x<\gamma</math> מתקיים <math>\beta x<\beta\gamma</math> (כי הנחנו <math>\beta>0</math>), לכן קיים <math>y=\beta x<\beta\gamma</math> כך ש<math>\alpha (\beta x)=\alpha y</math>, לכן <math>\bigcup_{x<\gamma}\alpha(\beta x)\subseteq\bigcup_{y<\beta\gamma}\alpha y</math>. לכל <math>y<\beta\gamma=\bigcup_{x<\gamma}\beta x</math> קיים <math>x<\gamma</math> כך ש<math>y<\beta x</math>, כלומר <math>\alpha y<\alpha(\beta x)</math> (כי הנחנו <math>\alpha>0</math>), לכן <math>\bigcup_{x<\gamma}\alpha(\beta x)\subseteq\bigcup_{y<\beta\gamma}\alpha y</math>. בסך הכל <math>\bigcup_{x<\gamma}\alpha(\beta x)=\bigcup_{y<\beta\gamma}\alpha y</math>.
}}
פעולת הכפל מאפשרת לנו לתת שמות נוספים (או שמות קצרים יותר) לסודרים כגון <math>\omega\cdot2,\omega\cdot3,...,\omega\cdot n,...,\omega\cdot\omega,...,\omega\cdot\omega\cdot\omega,...</math>.
===חזקה===
{{הגדרה|שם=חזקה של סודרים|תוכן=יהו <math>\alpha,\beta</math> סודרים. נגדיר את החזקה <math>\alpha^\beta</math> באינדוקציה טרנספיניטית:
* <math>\alpha^0=1</math>
* <math>\alpha^{\beta+1}=\alpha^\beta\cdot\alpha</math>
* <math>\alpha^\lambda=\bigcup_{x<\lambda}\alpha^x</math> כאשר <math>\lambda</math> גבולי.}}
{{משפט|מספר=5.13|שם=תכונות החזקה|תוכן=
# <math>1</math> נייטרלי מימין: <math>\alpha^1=\alpha</math>.
# <math>1^\alpha=1</math>.
# <math>\alpha\neq0\Rightarrow0^\alpha=0</math>.
# אם <math>\lambda</math> גבולי, אז <math>\alpha^\lambda</math> גבולי לכל <math>\alpha>1</math>.
# איזוטוניות שמאלית ביחס לסדר חזק: <math>(\alpha<\beta)\land(\gamma>1)\Rightarrow\gamma^\alpha<\gamma^\beta</math>.
# איזוטוניות ימנית ביחס לסדר חלש: <math>\alpha\le\beta\Rightarrow\alpha^\gamma\le\beta^\gamma</math>.
# <math>\alpha^{\beta+\gamma}=\alpha^\beta\alpha^\gamma</math>.
# <math>(\alpha^\beta)^\gamma=\alpha^{\beta\gamma}</math>.}}
| |||