פונקציות מרוכבות/מספרים מרוכבים - חזרה: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Texvc2LaTeXBot (שיחה | תרומות) מ החלפת קוד LaTeX מיושן mw:Extension:Math/Roadmap |
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 27:
היתרון בהגדרת <math>\Complex</math> כשדה, הוא שמתקיים בה המשפט היסודי של האלגברה: לכל פולינום ממעלה <math>n</math> במרוכבים יש '''בדיוק''' <math>n</math> שורשים. גרסתו של משפט זה במספרים הממשיים מבטיחה '''לכל היותר''' <math>n</math> שורשים.
===
[[קובץ:Complex_number_illustration_modarg.svg|ממוזער|]]
בהינתן מספר מרוכב <math>z=x+yi</math>, '''הערך המוחלט''' שלו מוגדר <math>|z|=\sqrt{z\overline z}=\sqrt{x^2+y^2}</math>. על פי משפט פיתגורס, הערך המוחלט מייצג את המרחק מהאפס, כלומר אם נראה את המספר כנקודה במישור המרוכב, אז הערך המוחלט הוא המרחק מראשית הצירים. הארגומנט המסומן <math>\arg z</math> מוגדר כזווית (ברדיאנים) שהקטע המחבר את z ל0 יוצר עם הכיוון החיובי של ציר הx (ראו איור). אם המספר נמצא ברביע הראשון של המישור, הארגומנט יהיה בין 0 ל<math>\frac\pi2</math>. ברביע השני, הארגומנט יהיה בין <math>\frac\pi2</math> ל<math>\pi</math>. ברביע השלישי והרביעי הארגומנט שלילי בין <math>-\pi</math> ל0. מעט טריגונומטריה תלמד כי מתקיים <math>\tan\arg z=\frac yx</math> כאשר <math>x\ne0</math>. למרות זאת לא מתקיים <math>\arg z=\arctan\frac yx</math>, שכן פונקציית ארכטנגנס מחזירה תמיד ערכים בין <math>-\frac\pi2</math> ל<math>\frac\pi2</math>, בניגוד לכך שארגומנט ברביע השלישי הוא בתחום <math>(\frac\pi2,\pi)</math>. לכן פונקצית הארגומנט מוגדרת על פי הנוסחה <math>\ \arg z = =
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0
\end{cases}</math>
אם ידועים הערך המוחלט <math>r</math> והארגומנט <math>\theta</math> של מספר מרוכב, מתקיים <math>x=r\cos\theta\ ,\ y=r\sin\theta</math>, כלומר <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math>. הביטוי <math>\cos\theta+i\sin\theta</math> מסומן בקיצור <math>\operatorname{cis}\theta</math>.
===פתרון משוואות מרוכבות===
המשוואה <math>a+bi=c+di</math> מבטיחה את השוויונות <math>a=c\ ,\ b=d</math>. נראה זאת: נניח בשלילה <math>b\ne d</math>. אז מתקיים <math>bi-di=c-a</math>, כלומר <math>i=\frac{c-a}{b-d}</math> (החלוקה ב<math>b-d</math> מותרת כי הנחנו <math>b\ne d</math> ולכן <math>b-d\ne0</math>), ומסגירות הממשיים לפעולות החיסור והחילוק נקבל <math>i\in\R</math>. סתירה. לכן <math>b\ne d</math>, כלומר <math>a+bi=c+bi</math>, ולכן <math>a=c</math>.
אם כן, פתרון משוואה מרוכבת הופך להיות משימה של פתרון משוואה ממשית בשני נעלמים. למשל, ננסה למצוא שורש ל<math>i</math>, כלומר נכתוב <math>z^2=i</math>. אם נסמן <math>z=x+yi</math> נקבל <math>(x+yi)^2=i</math>, ולכן <math>x^2+2xyi-y^2=i</math>. נארגן את האגפים ונקבל <math>(x^2-y^2)+2xyi=0+i</math>. נשווה את החלקים הממשיים והמדומים ונקבל <math>(1)\ x^2-y^2=0\ ,(2)\ 2xy=1</math>. ממשואה <math>(2)</math> נקבל <math>y=\frac1{2x}</math>, ומהצבה במשוואה <math>(1)</math> נקבל <math>x^2=\left(\frac1{2x}\right)^2</math>, כלומר <math>x^4=\frac14</math>, ולכן <math>x^2=\pm\frac12</math>. נשים לב ש<math>x</math> צריך להיות ממשי, לכן לא יתכן <math>x^2=-\frac12</math>, לכן <math>x^2=\frac12</math>, כלומר <math>x=\pm\frac1\sqrt2</math>. נחזיר להציב במשוואה <math>(2)</math> ונקבל <math>y=\pm\frac1\sqrt2</math>, לכן <math>z=\pm\left(\frac1\sqrt2+\frac1\sqrt2i\right)=\pm\frac{1+i}\sqrt2</math>, כלומר <math>\sqrt i=\frac{1+i}\sqrt2</math>.
===מציאת שורשים למספרים מרוכבים===
===שורשי היחידה===
| |||