הבדלים בין גרסאות בדף "פונקציות מרוכבות/מספרים מרוכבים - חזרה"

אין תקציר עריכה
\end{cases}</math>
אם ידועים הערך המוחלט <math>r</math> והארגומנט <math>\theta</math> של מספר מרוכב, מתקיים <math>x=r\cos\theta\ ,\ y=r\sin\theta</math>, כלומר <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math>. הביטוי <math>\cos\theta+i\sin\theta</math> מסומן בקיצור <math>\operatorname{cis}\theta</math>.
 
אם כן, כל מספר מרוכב <math>z\ne0</math> ניתן להצגה בצורה <math>z=r\operatorname{cis}\theta</math>. הצגה זו מקילה על חישובים של כפל וחילוק מספרים מרוכבים: נשים לב כי מתקיים
===פתרון משוואות מרוכבות===
המשוואה <math>a+bi=c+di</math> מבטיחה את השוויונות <math>a=c\ ,\ b=d</math>. נראה זאת: נניח בשלילה <math>b\ne d</math>. אז מתקיים <math>bi-di=c-a</math>, כלומר <math>i=\frac{c-a}{b-d}</math> (החלוקה ב<math>b-d</math> מותרת כי הנחנו <math>b\ne d</math> ולכן <math>b-d\ne0</math>), ומסגירות הממשיים לפעולות החיסור והחילוק נקבל <math>i\in\R</math>. סתירה. לכן <math>b\ne d</math>, כלומר <math>a+bi=c+bi</math>, ולכן <math>a=c</math>.
 
אם כן, פתרון משוואה מרוכבת הופך להיות משימה של פתרון משוואהמערכת ממשיתמשוואות ממשיות בשני נעלמים. למשל, ננסה למצוא שורש ל<math>i</math>, כלומר נכתוב <math>z^2=i</math>. אם נסמן <math>z=x+yi</math> נקבל <math>(x+yi)^2=i</math>, ולכן <math>x^2+2xyi-y^2=i</math>. נארגן את האגפים ונקבל <math>(x^2-y^2)+2xyi=0+i</math>. נשווה את החלקים הממשיים והמדומים ונקבל <math>(1)\ x^2-y^2=0\ ,(2)\ 2xy=1</math>. ממשואה <math>(2)</math> נקבל <math>y=\frac1{2x}</math>, ומהצבה במשוואה <math>(1)</math> נקבל <math>x^2=\left(\frac1{2x}\right)^2</math>, כלומר <math>x^4=\frac14</math>, ולכן <math>x^2=\pm\frac12</math>. נשים לב ש<math>x</math> צריך להיות ממשי, לכן לא יתכן <math>x^2=-\frac12</math>, לכן <math>x^2=\frac12</math>, כלומר <math>x=\pm\frac1\sqrt2</math>. נחזיר להציב במשוואה <math>(2)</math> ונקבל <math>y=\pm\frac1\sqrt2</math>, לכן <math>z=\pm\left(\frac1\sqrt2+\frac1\sqrt2i\right)=\pm\frac{1+i}\sqrt2</math>, כלומר <math>\sqrt i=\frac{1+i}\sqrt2</math>.
===מציאת שורשים למספרים מרוכבים===
===שורשי היחידה===
419

עריכות