הבדלים בין גרסאות בדף "פונקציות מרוכבות/מספרים מרוכבים - חזרה"

אין תקציר עריכה
 
 
===המישור המרוכב===
אפשר לזהות בין נקודות ב־<math>\R^2</math> לבין <math>\Complex</math> על־ידי זיהוי <math>a+bi</math> עם הזוג הסדור <math>(a,b)</math> . נשים לב שההתאמה הנ"ל היא חח"ע ועל. המישור נקרא בהקשר זה '''המישור המרוכב''', או '''המישור של גאוס'''.
 
===חיבור וכפל של מספרים מרוכבים===
אם ידועים הערך המוחלט <math>r</math> והארגומנט <math>\theta</math> של מספר מרוכב, מתקיים <math>x=r\cos\theta\ ,\ y=r\sin\theta</math>, כלומר <math>z=r(\cos\theta+i\sin\theta)</math>. הביטוי <math>\cos\theta+i\sin\theta</math> מסומן בקיצור <math>\operatorname{cis}\theta</math>.
 
אם כן, כל מספר מרוכב <math>z\ne0</math> ניתן להצגה בצורה <math>z=r\operatorname{cis}\theta</math>. נשים לב כי הצגה זו מקילהאינה עליחידה: חישוביםמהמחזוריות של כפלהפונקציות וחילוקהטריגונומטריות מספריםנקבל מרוכבים:<math>\operatorname{cis}(\theta+2k\pi)=\operatorname{cis}\theta</math> נשיםלכל לב<math>k\in\Z</math>. כינעדיף תמיד את ההצגה מתקייםשבה <math>-\pi<\theta\le\pi</math>.
 
הצגת מספרים מרוכבים באמצעות ערך מוחלט וארגומנט מקילה על חישובים של כפל וחילוק מספרים מרוכבים: נשים לב כי מתקיים <math>\operatorname{cis}\theta_1\cdot\operatorname{cis}\theta_2=(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)=\cos\theta_1\cos\theta_2+i\sin\theta_1\cos\theta_2+i\sin\theta_2\cos\theta_1-\sin\theta_1\sin\theta_2=(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)=(\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2)+i(\sin\theta_1\cos\theta_2+\sin\theta_2\cos\theta_1)</math>. מזהויות טריגונומטריות נקבל <math>\operatorname{cis}\theta_1\cdot\operatorname{cis}\theta_2=\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)=\operatorname{cis}(\theta_1+\theta_2)</math>. לכן כפל מספרים מרוכבים יכול להיעשות באמצעות <math>(r_1\operatorname{cis}\theta_1)\cdot(r_2\operatorname{cis}\theta_2)=r_1r_2\operatorname{cis}(\theta_1+\theta_2)</math>. באינדוקציה ניתן לקבל את '''נוסחת דה-מואבר''': <math>(r\operatorname{cis}\theta)^n=r^n\operatorname{cis}n\theta</math>. חילוק ניתן לבצע על פי ההבחנה כי <math>\operatorname{cis}(-\theta)\cdot\operatorname{cis}\theta=\operatorname{cis}0=1</math>, לכן <math>\frac1{r\operatorname{cis}\theta}=r^{-1}\operatorname{cis}(-\theta)</math>, וחילוק הופך להיות <math>\frac{r_1\operatorname{cis}\theta_1}{r_2\operatorname{cis}\theta_2}=r_1\operatorname{cis}\theta_1\cdot(r_2\operatorname{cis}\theta_2)^{-1}=r_1r_2^{-1}\operatorname{cis}\theta_1\operatorname{cis}(-\theta_2)=\frac{r_1}{r_2}\operatorname{cis}(\theta_1-\theta_2)</math>.
===פתרון משוואות מרוכבות===
המשוואה <math>a+bi=c+di</math> מבטיחה את השוויונות <math>a=c\ ,\ b=d</math>. נראה זאת: נניח בשלילה <math>b\ne d</math>. אז מתקיים <math>bi-di=c-a</math>, כלומר <math>i=\frac{c-a}{b-d}</math> (החלוקה ב<math>b-d</math> מותרת כי הנחנו <math>b\ne d</math> ולכן <math>b-d\ne0</math>), ומסגירות הממשיים לפעולות החיסור והחילוק נקבל <math>i\in\R</math>. סתירה. לכן <math>b\ne d</math>, כלומר <math>a+bi=c+bi</math>, ולכן <math>a=c</math>.
 
אם כן, פתרון משוואה מרוכבת הופך להיות משימה של פתרון מערכת משוואות ממשיות בשני נעלמים. למשל, ננסה למצוא שורש ל<math>i</math>, כלומר נכתוב <math>z^2=i</math>. אם נסמן <math>z=x+yi</math> נקבל <math>(x+yi)^2=i</math>, ולכן <math>x^2+2xyi-y^2=i</math>. נארגן את האגפים ונקבל <math>(x^2-y^2)+2xyi=0+i</math>. נשווה את החלקים הממשיים והמדומים ונקבל <math>(1)\ x^2-y^2=0\ ,(2)\ 2xy=1</math>. ממשואה <math>(2)</math> נקבל <math>y=\frac1{2x}</math>, ומהצבה במשוואה <math>(1)</math> נקבל <math>x^2=\left(\frac1{2x}\right)^2</math>, כלומר <math>x^4=\frac14</math>, ולכן <math>x^2=\pm\frac12</math>. נשים לב ש<math>x</math> צריך להיות ממשי, לכן לא יתכן <math>x^2=-\frac12</math>, לכן <math>x^2=\frac12</math>, כלומר <math>x=\pm\frac1\sqrt2</math>. נחזיר להציב במשוואה <math>(2)</math> ונקבל <math>y=\pm\frac1\sqrt2</math>, לכן <math>z=\pm\left(\frac1\sqrt2+\frac1\sqrt2i\right)=\pm\frac{1+i}\sqrt2</math>, כלומר <math>\sqrt i=\frac{1+i}\sqrt2</math>.
 
===מציאת שורשים למספרים מרוכבים===
אם המשוואה נתונה בהצגה של ערך מוחלט וארגומנט, כלומר <math>r_1\operatorname{cis}\theta_1=r_2\operatorname{cis}\theta_2</math>, אז מכך ש<math>r_1,r_2</math> הם הערך המוחלט של אותו מספר מרוכב, נקבל <math>r_1=r_2</math>. לכן <math>\cos\theta_1+i\sin\theta_1=\cos\theta_2+i\sin\theta_2</math>. לכן <math>\cos\theta_1=\cos\theta_2</math>, כלומר <math>\theta_1=\pm\theta_2+2k\pi</math>, וכן <math>\sin\theta_1=\sin\theta_2</math>, לכן <math>\theta_1\in\{\theta_2+2k\pi,\pi-\theta_2+2k\pi\}</math>. משני השוויונות נקבל <math>\theta_1=\theta_2+2k\pi</math>.
===שורשי היחידה===
בהינתן מספר טבעי <math>n\in\N</math>, נמצא את פתרונות המשוואה <math>z^n=1</math>. נרשום לשם כך <math>z=r\operatorname{cis}\theta</math>. באמצעות נוסחת דה-מואבר נקבל <math>r^n\operatorname{cis}n\theta=1\operatorname{cis}0</math>. לכן <math>r^n=1</math>, כלומר <math>r=1</math> (על פי הגדרת הערך המוחלט הוא תמיד מספר ממשי חיובי), וכן <math>n\theta=0+2k\pi=2k\pi</math> עבור <math>k\in\Z</math> כלשהו. לכן <math>\theta=\frac{2k\pi}{n}</math>. נשים לב שאם <math>0\le k<n</math> ולכל <math>m\in\Z</math> מתקיים <math>\operatorname{cis}\left(\frac{2(k+mn)\pi}{n}\right)=\operatorname{cis}\left(\frac{2k\pi}n+2m\pi\right)=\operatorname{cis}\left(\frac{2k\pi}n\right)</math>, לכן מספיק לבחור <math>m\in\Z</math> אחד כדי לייצג כל פתרון. בחירה טבעית היא <math>m=0</math>, ולכן הצגת הפתרונות תיעשה בצורה <math>z=\operatorname{cis}\left(\frac{2k\pi}n\right)\ \ \ \ \ \ (0\le k<n)</math> (שימו לב שכל פתרון אחר שווה ערך לאחד מהפתרונות האלו).
===מציאת שורשים למספרים מרוכבים===
 
 
{{פונקציות מרוכבות|מוגבל}}
419

עריכות