הבדלים בין גרסאות בדף "תורת הקבוצות/הלמה של צורן"

אין תקציר עריכה
תגית: שחזור ידני
 
 
כשהוכחנו שהפונקציה מוגדרת, הוכחנו גם כי היא שומרת סדר, ובפרט חד-חד-ערכית (כי אם <math>x\not=y</math>, אז או <math>x<y</math>, ואז <math>h(x)\prec h(y)\Rightarrow h(x)\not= h(y)</math>, או ש<math>y<x</math>, ואז <math>h(y)\prec h(x)\Rightarrow h(x)\not=h(y)</math>). נגדיר על הקבוצה <math>A</math> את הטענה <math>\phi(x,y)\equiv((\exist\alpha(h(\alpha)=x)\Rightarrow y=x)\land(\lnot\exist\alpha(h(\alpha)=x)\Rightarrow y=p))</math>. מ[[תורת הקבוצות/תורת הקבוצות האקסיומטית#אקסיומת ההחלפה|אקסיומת ההחלפה]] נובע כי קיימת תמונת הטענה, אותה נסמן <math>\text{Im}(h)</math>. קל לראות שלכל <math>x\in\text{Im}(h)</math> קיים סודר <math>\alpha</math> כך ש<math>h(\alpha)=x</math>, ומכך ש<math>h</math> חד חד ערכית נובע ש<math>\alpha</math> באופן יחיד. לכן הגדרת הטענה <math>\varphi(x,\alpha)\equiv(h(\alpha)=x)</math> על הקבוצה <math>\text{Im}(h)</math> תגרור, באמצעות אקסיומת ההחלפה, את קיום תמונת הטענה. כל סודר <math>\alpha</math> הוא בתמונת הטענה, כי מתקיים <math>\varphi(h(\alpha),\alpha)</math>, לכן תמונת הטענה היא מחלקת כל הסודרים <math>\text{On}</math>. מצד שני, מ[[תורת הקבוצות/סודרים#הפרדוקס של בורלי-פורטי|הפרדוקס של בורלי פורטי]] (טרם נכתב) נובע כי <math>\text{On}</math> אינה קבוצה. סתירה.
==שקילות לאקסיומת הבחירה==
{{בעבודה}}
בהוכחת הלמה עשינו שימוש ב[[תורת הקבוצות/תורת הקבוצות האקסיומטית#אקסיומת הבחירה|אקסיומת הבחירה]]. מתברר שגם המשפט ההפוך נכון, כלומר אם ניקח את מערכת אקסיומות ZF (שהיא ZFC ללא אקסיומת הבחירה) ונוסיף לה את הלמה של צורן כאקסיומה, נוכל להוכיח את אקסיומת הבחירה. נראה זאת:
 
נניח כי הלמה של צורן נכונה כאקסיומה. תהי <math>E</math> קבוצה של קבוצות לא ריקות, ונסמן את איחוד איבריה בקצרה <math>\cup E</math>. נסמן ב<math>S</math> את קבוצת הפונקציות <math>f:D\to \cup E</math> כך ש<math>D\subseteq\mathcal P(\cup E)\setminus\{\empty\}</math>, וכן <math>f(x)\in x</math> לכל <math>x\in D</math>. נגדיר יחס סדר על <math>S</math> באופן הבא: <math>f_1\le f_2</math> אם ורק אם <math>f_1=f_2|_{D}</math> כאשר <math>D</math> היא התחום של <math>f_1</math>, והפונקציה <math>f_1|_D</math> מוגדרת על פי [[תורת הקבוצות/פונקציות#צמצום|צמצום של פונקציה]].
419

עריכות