תורת הקבוצות/הלמה של צורן: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה תגית: שחזור ידני |
||
שורה 19:
כשהוכחנו שהפונקציה מוגדרת, הוכחנו גם כי היא שומרת סדר, ובפרט חד-חד-ערכית (כי אם <math>x\not=y</math>, אז או <math>x<y</math>, ואז <math>h(x)\prec h(y)\Rightarrow h(x)\not= h(y)</math>, או ש<math>y<x</math>, ואז <math>h(y)\prec h(x)\Rightarrow h(x)\not=h(y)</math>). נגדיר על הקבוצה <math>A</math> את הטענה <math>\phi(x,y)\equiv((\exist\alpha(h(\alpha)=x)\Rightarrow y=x)\land(\lnot\exist\alpha(h(\alpha)=x)\Rightarrow y=p))</math>. מ[[תורת הקבוצות/תורת הקבוצות האקסיומטית#אקסיומת ההחלפה|אקסיומת ההחלפה]] נובע כי קיימת תמונת הטענה, אותה נסמן <math>\text{Im}(h)</math>. קל לראות שלכל <math>x\in\text{Im}(h)</math> קיים סודר <math>\alpha</math> כך ש<math>h(\alpha)=x</math>, ומכך ש<math>h</math> חד חד ערכית נובע ש<math>\alpha</math> באופן יחיד. לכן הגדרת הטענה <math>\varphi(x,\alpha)\equiv(h(\alpha)=x)</math> על הקבוצה <math>\text{Im}(h)</math> תגרור, באמצעות אקסיומת ההחלפה, את קיום תמונת הטענה. כל סודר <math>\alpha</math> הוא בתמונת הטענה, כי מתקיים <math>\varphi(h(\alpha),\alpha)</math>, לכן תמונת הטענה היא מחלקת כל הסודרים <math>\text{On}</math>. מצד שני, מ[[תורת הקבוצות/סודרים#הפרדוקס של בורלי-פורטי|הפרדוקס של בורלי פורטי]] (טרם נכתב) נובע כי <math>\text{On}</math> אינה קבוצה. סתירה.
|