הבדלים בין גרסאות בדף "חשבון אינפיניטסימלי/סדרות/סדרות מונוטוניות"

(תיקנתי שגיאה: היה כתוב: מונוטונית יורדת אם הכיוון שלה כלפי מעלה.. תיקנתי את זה ל"כלפי מטה")
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד
 
* הסדרה <math>a_n=n^2</math> אינה מונוטונית.
 
==הוכחה כי סדרה היא מונוטונית==
===דרך אלגברית===
ניתן להוכיח כי סדרה היא מונוטונית (עולה או יורדת) בדרך אלגברית, באמצעות הוכחה כי <math>\forall h>0\forall n, a_n<a_{n+h}</math> או <math>\forall h>0\forall n,a_n>a_{n+h}</math>.
 
'''דוגמה:'''
 
הוכח כי הסדרה <math>a_n=\frac{n}{n+3}</math> היא מונוטונית עולה.
 
'''פיתרון'''
 
נכתוב <math>\frac{n}{n+3}<\frac{n+h}{n+h+3}</math>.
 
נקבל:
 
<math>\frac{n+3}{n}>\frac{n+h+3}{n+h}\Rightarrow 1+\frac{3}{n}>1+\frac{3}{n+h}\Rightarrow \frac{1}{n}>\frac{1}{n+h}\Rightarrow n<n+h</math>, מה שכמובן מתקיים לכל h חיובי.
 
===דרך דיפרנציאלית===
ניתן להוכיח כי סדרה היא מונוטונית באמצעות גזירתה והוכחה כי הנגזרת תמיד חיובית או תמיד שלילית.
 
'''דוגמה:'''
 
הוכח כי הסדרה <math>a_n=-n^3+\frac{1}{n}</math> היא מונוטונית יורדת.
 
'''פיתרון'''
 
ניגזור את הסדרה:
 
<math>(a_n)'=-3n^2-\frac{1}{n^2}<0\ \ \ \ (\forall n)</math>
 
קיבלנו כי הנגזרת שלילית לכל n ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת.
{{קצרמר}}
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי (ספר)]]
419

עריכות