חשבון אינפיניטסימלי/סדרות/סדרות מונוטוניות: הבדלים בין גרסאות בדף

אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
 
==הסבר סדרות מונוטוניות==
{{להשלים}}
סדרה '''מונוטונית''' הינה סידרה שהכיוון שלה קבוע, כלומר סדרה תהא מונוטונית אם היא רק עולה או רק יורדת.
נאמר על סדרה כי היא '''מונוטונית יורדת''' אם הכיוון הוא כלפי מטה, ו'''מונוטונית עולה''' אם הכיוון הוא כלפי מעלה.
 
 
==הגדרת סדרות מונוטוניות==
{{קצרמר}}
{{הגדרה|שם=סדרה עולה ויורדת|תוכן=
תהי <math>(a_{n})_{n=1}^{\infty}</math> סדרה, נקרא לסדרה הזו '''סדרה עולה''' אם לכל <math>n \in \mathbb{N}</math>, מתקיים <math>a_n \le a_{n+1}</math>, ונקרא לה '''סדרה יורדת''' אם לכל <math>n \in \mathbb{N}</math>, מתקיים <math>a_n \ge a_{n+1}</math>}}
 
{{הגדרה|שם=סדרה מונוטונית|תוכן=
תהי <math>(a_{n})_{n=1}^{\infty}</math> סדרה, נקרא לסדרה הזו '''סדרה מונוטונית''', אם היא סדרה עולה או יורדת.}}
 
{{משפט|שם=תהי <math>(a_{n})_{n=1}^{\infty}</math> סדרה, אם היא סדרה עולה וחסומה אז מתקיים <math>\underset{n\to\infty}{\lim}a_n=\sup (a_n|n \in \mathbb{N})</math>, אם היא יורדת וחסומה אז מתקיים <math>\underset{n\to\infty}{\lim}a_n=\inf (a_n|n \in \mathbb{N})</math>. |תוכן=
 
{{הוכחה|
נוכיח את המקרה שהסדרה <math>(a_{n})_{n=1}^{\infty}</math> עולה וחסומה, ההוכחה למקרה שבו <math>(a_{n})_{n=1}^{\infty}</math> יורדת אנלוגית לחלוטין.
 
תהי <math>(a_{n})_{n=1}^{\infty}</math> סדרה עולה וחסומה, כיוון שהקבוצה <math>(a_n | n \in \mathbb{N})</math> לא ריקה וחסומה, קיים לה סופרמום, לכן נסמן <math>S=\sup (a_n|n \in \mathbb{N})</math>.
 
יהי <math>\epsilon>0</math>, לפי הגדרת הסופרמום קיים <math>N \in \mathbb{N}</math> כך שמתקיים <math>a_N>S-\epsilon</math>, ומההנחה שהיא סדרה עולה, לכל <math>n>N</math> מתקיים <math>a_n\ge a_N</math>, וגם מההנחה ש<math>S</math> הוא סופרמום, הוא בוודאי
חסם מעיל מינימלי, ולכן <math>a_n\le S</math>, ומתקיים <math>a_n<S +\epsilon</math>, ולכן לכל <math>n>N</math> יתקיים <math>L-\epsilon<a_n<L+\epsilon </math>, כלומר <math>|a_n-S|<\epsilon</math>, וזו בדיוק הגדרת הגבול ולכן <math>\underset{n\to\infty}{\lim}a_n=\sup (a_n|n \in \mathbb{N})=S</math>.
 
 
}}}}
 
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי (ספר)]]