תורת הקבוצות/תורת הקבוצות האקסיומטית: הבדלים בין גרסאות בדף

מאקסיומת היסוד נובע כי הקבוצה y נקבעת באופן יחיד, ונסמן <math>y=\mathcal P(x)</math>.

===אקסיומת היסוד===

: <math>\forall x(\exist y(y\in x)\Rightarrow\exist y((y\in x)\land\forall z(z\in x\Rightarrow\lnot(z\in y)))</math>

כלומר לכל קבוצה יש אחד מאיבריה שזר לה.

===אקסיומת הקבוצה האינסופית===

כל האקסיומות של ZFC לא מספיקות כדי להוכיח שקיימת קבוצה אינסופית, ולו אחת. לשם כך נוסחה אקסיומת הקבוצה האינסופית. לפני שנביא את הנוסח נקדים מספר הגדרות: על פי אקסיומת ההחלפה נובע שלכל קבוצה <math>x</math>, קיימת הקבוצה <math>\{x,x\}</math> שאינה אלא <math>\{x\}</math>. לכן קיימת הקבוצה <math>\{x,\{x\}\}</math>, ומאקסיומת האיחוד נובע כי קיימת הקבוצה <math>\bigcup_{\alpha\in\{x,\{x\}\}}\alpha=x\cup\{x\}</math>. לכל קבוצה <math>x</math> נגדיר <math>S(x)=x\cup\{x\}</math>. לכל קבוצה <math>x</math> נגדיר <math>S(x)=x\cup\{x\}</math>. כעת נביא את נוסח אקסיומת הקבוצה האינסופית: