תורת הקבוצות/תורת הקבוצות האקסיומטית: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
לא פותרת לבד אבל פותרת בצירוף הגבלת מחלקת הקבוצות לקבוצות הנובעות מהאקסיומות בלבד. תגית: ביטול |
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
||
שורה 60:
פתרון הפרדוקס יעשה על ידי שנאמר כי <math>A</math> אינה קבוצה, ולכן הביטוי <math>\mathcal P(A)\subseteq A</math> חסר משמעות מכמה סיבות, ביניהן שאקסיומת קבוצת החזקה חלה רק על קבוצות, וכן שלא ניתן לדבר על <math>x\in A</math>, ולכן לא תוגדר ההכלה. גם הביטוי <math>|A|<|\mathcal P(A)|</math> מאבד משמעות. בכל פעם שנרצה לדבר על קבוצת כל הקבוצות, נחליף את המילה קבוצה במילה מחלקה.
ניתן גם '''להוכיח''' כי קבוצת כל הקבוצות אינה קיימת: נניח בשלילה שהיא קיימת, כלומר <math>\exist A\forall x(x\in A)</math>. מהגדרת <math>A</math> נקבל כי <math>A\in A</math>. מצד שני, ניתן להפעיל את אקסיומת היסוד על הקבוצה <math>\{A\}</math> ולקבל כי <math>A\not\in A</math>. סתירה.
===הפרדוקס של ראסל===
הפרדוקס של ראסל עושה שימוש בכך שהקבוצה <math>A=\{x|x\not\in x\}</math> הוא קבוצה, לכן ניתן לדבר על הטענה <math>A\in A</math>. לכל קבוצה <math>x</math>, הפעלת אקסיומת היסוד על הקבוצה <math>\{x\}</math> תראה כי <math>x\not\in x</math>, לכן <math>A</math> היא קבוצת כל הקבוצות, שהסברנו כבר שאינה מוגדרת.
| |||