תורת הקבוצות/תורת הקבוצות האקסיומטית: הבדלים בין גרסאות בדף

כלומר לכל קבוצה יש אחד מאיבריה שזר לה.
===אקסיומת הקבוצה האינסופית===
כל האקסיומות של ZFC לא מספיקות כדי להוכיח שקיימת קבוצה אינסופית, ולו אחת. לשם כך נוסחה אקסיומת הקבוצה האינסופית. לפני שנביא את הנוסח נקדים מספר הגדרות: על פי אקסיומת ההחלפה נובע שלכל קבוצה <math>x</math>, קיימת הקבוצה <math>\{x,x\}</math> שאינה אלא <math>\{x\}</math>. לכן קיימת הקבוצה <math>\{x,\{x\}\}</math>, ומאקסיומת האיחוד נובע כי קיימת הקבוצה <math>\bigcup_{\alpha\in\{x,\{x\}\}}\alpha=x\cup\{x\}</math>. לכל קבוצה <math>x</math> נגדיר <math>S(x)=x\cup\{x\}</math>. לכל קבוצה <math>x</math> נגדיר <math>S(x)=x\cup\{x\}</math>. כעת נביא את נוסח אקסיומת הקבוצה האינסופית:
: <math>\exist S(([\emptyexist x\in S\forall y(y\not\in x)\landand\forall x((x\not=exist y\empty)in x\Rightarrow(x\in S\Leftrightarrow \exist y((y\in S)\landforall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y\or z=S(y))))))]</math>
במילים: קיימת קבוצה <math>S</math> כך שהקבוצה הריקה ב<math>S</math>, ולכל <math>x</math> לא ריקה, <math>x\in S</math> אם ורק אם קיים <math>y\in S</math> כך ש<math>S(y)=x=y\cup\{y\}</math>. ניתן להוכיח באמצעות אקסיומת היסוד ואקסיומת ההיקפיות כי <math>S</math> נקבעת באופן יחיד, ונסמן <math>S=\N</math> (קבוצת המספרים הטבעיים).
 
===אקסיומת הבחירה===
אקסיומה זו היא מן השימושיות ביותר בZFC. היא גם האינטואיטיבית מביניהן, וזו שהיו לגביה הכי הרבה מחלוקות. אקסיומת הבחירה קובעת כי בהינתן אוסף של קבוצות לא ריקות, ניתן לבחור איבר מכל קבוצה, גם ללא ידע קודם על הקבוצות (מלבד התכונה שהן לא ריקות). לפני שנביא את ניסוח המשפט, נקדים במספר הגדרות חשובות (שכבר הגדרנו, אך נגדיר באמצעות האקסיומות של ZFC): בהינתן קבוצות <math>x,y</math>, נובע מאקסיומת ההחלפה כי קיימת הקבוצה <math>\{x,y\}</math>, וכן קיימת הקבוצה <math>\{x,x\}=\{x\}</math>, ולכן קיימת גם <math>\{\{x\},\{x,y\}\}</math> אותה נסמן <math>(x,y)</math>.
426

עריכות