הוכחות מתמטיות/שונות/קיום שורש ריבועי: הבדלים בין גרסאות בדף

לכל <math>a>0</math> קיים <math>x\in\R</math> עבורו <math>x^2=a</math> .

נגדיר קבוצה <math>A=\Big\{r\in\R:r\ge0,r^2<a\Big\}</math> .

זו קבוצה לא־ריקה (כי <math>0,1\in A</math>) וחסומה מלמעלה על־ידי <math>a</math> (כי לכל <math>r>a</math> מתקיים <math>r^2>a^2>a</math>).

לכן על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשים יש לה חסם עליון <math>x</math> . כעת נוכיח כי <math>x^2=a</math> .

*נניח בשלילה כי <math>x^2<a</math> .

:מתקיים <math>x<\frac{a}{x}</math> . נגדיר [[w:ממוצע חשבוני|ממוצע חשבוני]] <math>y=\frac{x+\frac{a}{x}}{2}</math> . לכן <math>x<y<\frac{a}{x}</math> .

:על־פי [[w:אי-שוויון הממוצעים|אי־שוויון הממוצעים]] מתקיים <math>y^2>x\!\cdot\!\frac{a}{x}=a</math> . מזה נקבל <math>\left(\frac{a}{y}\right)^2<a</math> .

:לכן <math>\frac{a}{y}\in A</math> . אבל <math>\frac{a}{y}>x</math> אף שהנחנו כי <math>x</math> חסם עליון. סתירה!

*נניח בשלילה כי <math>x^2>a</math> .

:מתקיים <math>x>\frac{a}{x}</math> . לכן <math>\frac{a}{x}<y<x</math> .

:כ.נ.ל מתקיים <math>y^2>a</math> . מההגדרה לכל <math>r\in A</math> מתקיים <math>r^2<a<y^2</math> .

:לכן <math>r<y<x</math> . כלומר <math>y</math> חסם מלמעלה של <math>A</math> , אף שהנחנו כי <math>x</math> חסם עליון. סתירה!

לכן <math>x^2=a</math> .