ויקיספר

הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/גבול של מנה: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמת
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
אין תקציר עריכה
שיפוץ קודים מתמטיים
 
שורה 1:
;משפט
אם <math>\lim_{x\to a}f(x)=L,\lim_{x\to a}g(x)=M\ne 0</math> אז <math>\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\to a}f(x)}{\lim\limits_{x\to a}g(x)}=\frac{L}{M}</math> .
 
;הוכחה
יש להראות כי לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>0<|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|<\varepsilon</math> . על־ידי מכנה משותף נקבל:
:<math display=block>\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|=\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{g(x)}+\frac{L}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|\ {\color{red}\le}\ \left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{g(x)}\right|+\left|\frac{L}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|=\frac{|M|\!\cdot\!\bigl|f(x)-L\bigr|+|L|\!\cdot\!\bigl|g(x)-M\bigr|}{|M|\!\cdot\!\bigl|g(x)\bigr|}</math>
קייםקיימים <math>A>0<A<B</math> כלשהו כך שמתקיימים המקרים <math>|L|<AB</math> וגם <math>A<|M|<AB</math> .
:<math display=block>\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|\ {\color{red}\le}\ \frac{|M|\!\cdot\!\bigl|f(x)-L\bigr|+|L|\!\cdot\!\bigl|g(x)-M\bigr|}{|M|\!\cdot\!\bigl|g(x)\bigr|}\ {\color{red}<}\ \frac{AB}{|M|A}\cdot\frac{\bigl|f(x)-L\bigr|+\bigl|g(x)-M\bigr|}{\bigl|g(x)\bigr|}</math>
*קיים <math>\delta_1>0</math> כך שלכל <math>0<|x-a|<\delta_1</math> מתקיים <math>\bigl|g(x)-M\bigr|>A</math> או <math>\frac{1}{|Mg(x)|}<\frac{1}{2A}</math> . מכאן:
*קיים <math>\delta_3delta_2>0</math> כך שלכל <math>0<|x-a|<\delta_3delta_2</math> מתקיים <math>\bigl|gf(x)-ML\bigr|<\tfracfrac{MA^2}{4A2B}\varepsilon</math> .▼
:<math display=block>|M|=\Big|M-g(x)+g(x)\Big|\ {\color{red}\le}\ \bigl|g(x)-M\bigr|+\bigl|g(x)\bigr|\ {\color{red}<}\ \frac{|M|}{2}+\bigl|g(x)\bigr|\quad\implies\quad\bigl|g(x)\bigr|\ {\color{red}>}\ |M|-\frac{|M|}{2}=\frac{|M|}{2}\quad\implies\quad\frac{1}{\bigl|g(x)\bigr|}<\frac{2}{|M|}</math>▼
*קיים <math>\delta_2delta_3>0</math> כך שלכל <math>0<|x-a|<\delta_2delta_3</math> מתקיים <math>\bigl|fg(x)-LM\bigr|<\tfracfrac{MA^2}{4A2B}\varepsilon</math> .
נבחר <math>\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,\delta_3\}</math> . לפיכך,▼
▲*קיים <math>\delta_3>0</math> כך שלכל <math>0<|x-a|<\delta_3</math> מתקיים <math>\bigl|g(x)-M\bigr|<\tfrac{M^2}{4A}\varepsilon</math> .
▲:<math display=block>|M|=\Bigleft|M-g\frac{f(x)+}{g(x)}-\frac{L}{M}\Bigright|\ {\color{red}\le}\ \biglfrac{|gM|\!\cdot\!|f(x)-M\bigrL|+|L|\!\cdot\bigl!|g(x)-M|}{|M|\bigr!\cdot\!|g(x)|}\ {\color{red}<}\ \frac{|M|B}{2A}+\biglcdot\frac{|f(x)-L|+|g(x)\bigr-M|\quad\implies\quad\bigl}{|g(x)\bigr|}\ {\color{red}><}\ |M|-\frac{|M|B}{2A}=\cdot\frac{|M|1}{2A}\quadcdot\implies\quadleft(\frac{1A^2}{\bigl|g(x)\bigr|2B}<\varepsilon+\frac{A^2}{|M|2B}\varepsilon\right)=\varepsilon</math>
▲נבחר <math>\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,\delta_3\}</math> . לפיכך,
:<math display=block>\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|\ {\color{red}\le}\ \frac{|M|\!\cdot\!\bigl|f(x)-L\bigr|+|L|\!\cdot\!\bigl|g(x)-M\bigr|}{|M|\!\cdot\!\bigl|g(x)\bigr|}\ {\color{red}<}\ \frac{A}{|M|}\cdot\frac{\bigl|f(x)-L\bigr|+\bigl|g(x)-M\bigr|}{\bigl|g(x)\bigr|}\ {\color{red}<}\ \frac{A}{|M|}\cdot\frac{2}{|M|}\cdot\left(\tfrac{M^2}{4A}\varepsilon+\tfrac{M^2}{4A}\varepsilon\right)=\varepsilon</math>
<math>\blacksquare</math>
 
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/הוכחות_מתמטיות/חשבון_אינפיניטסימלי/גבולות,_סדרות_ורציפות/גבולות/גבול_של_מנה"