מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/אי-שוויונות מעריכיים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 84:
===דוגמה ב'===
<center><math>\ (3-x)^{3x}>(3-x)^{x^2}</math></center><br>
כאן, המשתנה מופיע הן במעריכי החזקות והן בבסיסיהן. לכן, יש לבדוק את תחום ההגדרה. בתחום ההגדרה נכללים רק בסיסים חיוביים. מכיוון שהבסיס זהה בשתי החזקות, נבדוק מתי הוא חיובי:<BR>
<center><math>\ 3-x>0</math><br>
<math>\ x<3</math></center><Br>
זהו תחום ההגדרה. כעת ניגש לפתרון התרגיל. מכיוון שאין אנו יודעים אם הבסיס גדול מ-1, או קטן מ-1 (וגדול מ-0 על-פי תחום ההגדרה). לכן, יש להפריד בין שני המקרים:<BR>
====מקרה ראשון- הבסיס גדול מ-1====
ראשית נבדוק מתי הבסיס בכלל גדול מ-1. <BR>
<center><math>\ 3-x>1</math><Br>
<math>\ x<2</math></center><br>
אם הבסיס גדול מ-1, אז '''כיוונו של אי-השוויון בין המעריכים זהה לכיוונו של אי-השוויון היסודי'''. מכאן:<BR>
<center><math>\ 3x>x^2</math><br>
<math>\ x^2-3x<0</math><br>
<math>\ x(x-3)<0</math></center><br>
שורשי הביטוי מצד שמאל הם, כפי שניתן לראות, <math>\ 0</math> ו-<math>\ 3</math>. לכן פתרון אי-שוויון זה הוא:<BR>
<center><math>\ 0<x<3</math></center><br>
כעת נמצא את תחום '''החיתוך''' בין התחום עבורו מוגדר מקרה זה <math>\ (x<2)</math>, ובין התוצאה שיצאה עבורו:<BR>
<center><math>\ (x<2) \quad \wedge \quad (0<x<3)</math><br>
<math>\ 0<x<2</math></center><br>
זהו הפתרון של המקרה הראשון. נעבור למקרה הבא.
====מקרה שני- הבסיס קטן מ-1 (וגדול מ-0)====
ראשית נבדוק מתי הבסיס בכלל קטן מ-1, וגדול מ-0 (ניתן, כמו-כן, למצוא מתי הבסיס קטן מ-1, ולערוך לתחום זה חיתוך עם תחום ההגדרה (משמעות פעולה זו היא זהה).<BR>
<center><math>\ 3-x<1 \quad and \quad 3-x>0</math><br>
<math>\ x>2 \quad and \quad x<3</math><br>
<math>\ 2<x<3</math></center><Br>
אם הבסיס קטן מ-1 (וזהו המקרה הנדון) אז '''כיוונו של אי-השוויון בין המעריכים הפוך לכיוונו של אי-השוויון היסודי'''. מכאן:<BR>
<center><math>\ 3x<x^2</math><br>
<math>\ x^2-3x>0</math><br>
<math>\ x(x-3)>0</math></center><Br>
שורשי הביטוי מצד שמאל הם, כפי שניתן לראות, <math>\ 0</math> ו-<math>\ 3</math>. לכן פתרון אי-שוויון זה הוא:<BR>
<center><math>\ x<0 \quad or \quad x>3</math></center><br>
כעת נמצא את תחום '''החיתוך''' בין התחום עבורו מוגדר מקרה זה <math>\ (2<x<3)</math>, ובין התוצאה שיצאה עבורו:<BR>
<center><math>\ (2<x<3) \quad \wedge \quad (x<0 \quad or \quad x>3)</math><br>
<math>\ \phi</math></center><br>
כלומר, אין פתרון למקרה זה.
| |||