חשבון אינפיניטסימלי/סדרות: הבדלים בין גרסאות בדף

אין תקציר עריכה
מ (הסרת התבנית "בעבודה". אני בוש בעצמי ששמתי אותה מלכתחילה)
אין תקציר עריכה
 
אם כן, אנחנו רוצים למצוא דרך לנסח בצורה פורמלית את כוונתנו ב"המרחק הולך וקטן". כמו כן נשים לב כי עבור הסדרה השנייה המרחק הוא תמיד <math>\ 0</math>, ולכן אין הכרח שהמרחק ישתנה - אבל אנחנו רוצים שהוא אפס או שילך ויקטן.
 
=== טור הנדסי יורד ===
עכשיו, אחרי שאנחנו יודעים מהו גבול של סדרה, ניתן ללמוד על אופי סדרה הנדסית יורדת (הערך המוחלט שלה בכל אופן).
כאשר מדברים על סדרה הנדסית יורדת מדובר על סדרה הנדסית שבה מנת הסדרהנמצאת בטווח שבין מינוס אחד לאחד (לא כולל), כלומר:
<math>-1< \ q <1</math>.מספר דוגמות:
 
<math> \ 27, 9, 3, 1 \dots</math> שבה האיבר הראשון הוא <math> \ 27</math> והמנה היא
<math> \frac{1}{3}</math>.
 
<math> \ 1, -0.5, 0.25, -0.125 \dots</math> שבה האיבר הראשון הוא <math> \ 1</math> והמנה היא <math> \ - 0.5</math>.
 
ניתן לראות בקלות כי איברי הסידרה שואפים ל-0 ככל ש<math>\ n</math> גדל. דבר זה גורם לכך שלסכום הסדרה ההנדסית נוצר גבול כלשהו אותו לא יוכל לעבור, סכוםפ אשר אליו הסכום ישאף, ויתקרב אליו ככל שנציב
ניתן לראות בקלות, כי <math>\ n</math> גדול יותר, אך אם זאת, לא יגיע אליו לעולם, אלא באיבר האינסוף (שהוא בעצם 0). בכדי לקבל נוסחה לסכום של סדרה הנדסית שכזו, פשוט מאוד "נציב" אינסוף במקום <math>\ n</math> בנוסחה שקיבלנו קודם. קל לראות, שכאשר <math>\ |q| < 1</math>, <math> \ q^n</math> ילך ויקטן עד אינסוף, עד שבאיבר האינסוף הוא בעצן יגיע ל-0.אם כן, פשוט מאוד ניתן למחוק את התבנית הזו מהנוסחה שקיבלנו:
 
<math>\ S=a_1\frac{-1}{q-1}</math>, נפשט על ידי הוצאת המינוס והחלפת המיקום במכנה, ונקבל את סכומה של הסידרה ההנדסית שבה ערכה המוחלט של מנת הסדרה הוא שבר האינסופית:
 
* <math>\ S= \frac{a_1}{1-q}</math>.
משתמש אלמוני