מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חקירת משוואות/חקירת משוואה ריבועית: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 12:
*<math>\;a\neq 0</math> (אחרת המשוואה אינה ריבועית, אלא לינארית ולכן יש לה רק פתרון אחד או אינסוף פתרונות)
*<math>\;\Delta>0</math> (שימו לב! זה אי-שוויון ממש)
{{הארה|<math>\;\Delta=b^2-4ac</math> היא ה[[אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות ריבועיות#בחינת הפתרונות האפשריים|דיסקרימיננטה]] של המשוואה הריבועית.}}
למשוואה יש פתרון יחיד אם ורק אם לפחות אחד מהתנאים הבאים מתקיימים:
*<math>\;b\neq 0</math> וגם <math>\;a=0</math>
*<math>\;a\neq 0</math> וגם <math>\;\Delta=0</math>
למשוואה אין אף פתרון ממשי אם ורק אם <math>\;\Delta<0</math>
הבה נראה כיצד ניתן להשתמש בסכימה זו בפתרון בעיה ממש.
{{אתגר|מדוע סכימה זו נכונה? תנו הסבר מתמטי}}
שורה 61 ⟵ 62:
ומכיוון שהסכימה דורשת ש'''כל''' התנאים יתקיימו אז הקשר הלוגי כאן הוא '''וגם''' ולכן התשובה היא: <br />
'''תשובה:''' <math>m<\frac{5}{2}</math> וגם <math>\;m\neq 0</math>
====דוגמא 2====
נתונה המשוואה
<center>
<math>
\;(6-m)x^2+(m-3)x+1=0
</math>
</center>
עבור אילו ערכים של <math>\;m</math> למשוואה:
*אין פתרון ממשי?
*יש רק פתרון ממשי אחד?
*יש שני פתרונות ממשיים?
'''פתרון:'''
נפתור שוב בעזרת הסכימה. נבדוק מתי למשוואה אין בכלל פתרון ממשי. זה קורה כאשר הדיסקרימיננטה שלילית כלומר:
<center>
<math>
\;\Delta<0</math>
<br /><math>\Updownarrow</math><br />
<math>
\;b^2-4ac<0
</math>
<br /><math>\Updownarrow</math><br />
<math>
\;(m-3)^2-4\cdot(6-m)\cdot 1<0
<br /><math>\Updownarrow</math><br />
<math>
\;m^2-6m+9-24+4m<0
</math>
<br /><math>\Updownarrow</math><br />
<math>
\;m^2-2m-15<0
</math>
</center>
<math>\;f(m)=m^2-2m-15</math> מייצגת פרבולה ישרה (כלומר מחייכת) שחותכת את ציר ה-<math>\;x</math> בנקודות <math>\;5</math> ו-<math>\;-3</math> ולכן כפי שפתרנו בפרק [[אלגברה תיכונית/אי שיויונות/אי שיויונות ממעלה שנייה|אי שיויונות ממעלה שנייה]]:
<br>
'''תשובה:'''<math>
\;-3<m<5
</math>
ובזאת פתרנו את הסעיף הראשון. נמשיך ונפתור - עבור אילו ערכים של <math>\;m</math> יש למשוואה פתרון יחיד?
<br>
אם <math>\;a=0</math> אז זה אומר ש-<math>\;6-m=0</math> וזה אומר ש-<math>\;m=6</math> ולכן גם מתקיים ש-<math>b=m-3=3\neq 0</math> ולכן ישנו פתרון יחיד במקרה ש-<math>\;m=6</math> אך בזה לא סיימנו את הפתרון מכיוון שעלינו גם לבדוק מה קורה אם <math>\;a\neq 0</math>. <br>
נדרוש <math>\;a\neq 0</math> כלומר, <math>6-m\neq 0</math> ונקבל ש-
<math>m\neq 6</math>. עלינו גם לדרוש ש-<math>\;\Delta=0</math> ולכן <math>m^2-2m-15=0</math>. פתרונות המשוואה הם כאמור <math>\;5</math> ו-<math>\;-3</math>. על פי הסכימה, על מנת שיתקבל פתרון יחיד צריך ששני התנאים יתקיימו יחדיו אבל מכיוון שאם <math>\;x=5</math> או ש-<math>\;x=-3</math> הרי שברור שגם מתקיים ש-<math>\;x\neq 6</math>.
<br>
מכאן שהתשובה לסעיף זה היא ה'''איחוד''' של שתי התשובות וזה אומר: <math>\;m=6</math> או <math> \;m=-3</math> או <math>\;m=5</math>.
| |||