מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות עם ערך מוחלט: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שינוי שוויונים לשוויונות |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
לפני שנתחיל נראה את הגדרת הערך המוחלט:<br>
<center>
<math>\ |x|=\left\{\begin{matrix} x, & \mbox{if }x \ge 0 \\ -x, & \mbox{if }x<0 \end{matrix}\right. </math>
<br>
</center>
<center>
</center>
חשוב לשים לב כי מההגדרה נובע כי ערכו המוחלט של '''כל מספר''' הוא אי שלילי. כלומר, <center>
</center>
ניתן לראות זאת גם מציור הפונקציה:
<center>
[[תמונה:Absolute value.png]]
</center>
==אי שוויונות עם ערך מוחלט אחד==
ככלל, קיימים שני אי-שוויונות בסיסיים אותם יש לדעת ולהבין, ואת היתר ניתן (בדרך כלל) לפתור באמצעותם:
<BR><BR> ===מקרה א'- <math>\ |x| < a</math>===
<BR>
אם <math>\ a</math> הינו מספר שלילי, אזי אין פתרון לאי-שוויון זה. זאת משום שאגף שמאל תמיד חיובי או אפס (ערך מוחלט), לעומת אגף ימין שהוא מספר שלילי
אם <math>\ a</math> מספר חיובי, אזי תחום הערכים המהווים פתרון לאי-השוויון הוא <math>\ -a < x < a</math>.
<center>
<BR>
<math>\ |x|<5</math>.<br><BR>
</center>
נצייר את הגרף לשני האגפים בנפרד על אותה מערכת צירים, ונראה מתי אי-השוויון מתקיים:<BR><BR>▼
אם נצייר את הגרף לשני האגפים על אותה מערכת צירים, נוכל בנקל לראות מתי אי-השוויון מתקיים (זאת מכיוון שקל לצייר את שני הגרפים באופן סכמטי וכל שאנו מחפשים הוא החלק בגרף של אגף שמאל שנמצא "מתחת" לגרף של אגף ימין):
<center>
<BR><BR>
[[תמונה:Inequality5.PNG|500px]]<BR>
</center>
מהגרף ניתן לראות כי הערכים בהם הערך המוחלט של
<math>\ -5 < x < 5</math><BR><BR>
====דוגמה
מצא לאילו ערכי
<center> <math>\ |2x-3|<4</math>.<BR><BR> </center>
<center>
<math>\ -4<2x-3<4</math><Br><BR>
<math>\ -4<2x-3\
<math>\ -1<2x
<math>\ x>-0.5\
<math>\ -0.5<x<3.5</math><Br><BR>
</center>
וזהו הפתרון.
===מקרה ב'- <math>\ |x|>a</math>===
אם <math>\ a</math> מספר שלילי, אז אי-השוויון מתקיים עבור '''כל
אם <math>\ a</math> מספר חיובי, אזי תחום הערכים המהווים פתרון לאי-השוויון הוא <math>\ x>a\
<center><BR>
<math>\ |x|>5</math>.<br><BR>
</center>
▲נצייר את הגרף לשני האגפים בנפרד על אותה מערכת צירים, ונראה מתי אי-השוויון מתקיים. במקרה זה אנו מעוניינים לבדוק באיזה תחום הגרף של <math>\;|x|</math> נמצא מעל אגף ימין:<BR><BR>
<center>
[[תמונה:Inequality6.PNG|500px]]<BR>
</center>
מהגרף ניתן לראות כי הערכים בהם הערך המוחלט (מודגשים בקו שחור עבה בגרף) של
▲<math>\ x>5\ or\ x<-5</math><BR><BR>
<center>
</center>
דוגמה לפתרון תרגיל:<BR>
מצא לאילו
<center> <math>\ |4x-2|>12</math>.<BR><BR> </center>
נפתור לפי השיטה שהצגנו:
<math>\ 4x-2>12\ or\ 4x-2<-12</math><Br><BR>▼
<center>
▲<math>\ 4x>14\ or\ 4x<-10 </math><Br><BR>
<BR><BR>
▲<math>\ x>3.5\ or\ x<-2.5</math><Br><BR>
<math>\ 4x>14\ </math> או <math>\ 4x<-10 </math><Br><BR>
<math>\ x>3.5\ </math> או <math>\ x<-2.5</math><Br><BR>
</center>
וזהו הפתרון.
==אי שוויונות עם שני ערכים מוחלטים או יותר==
כאשר מופיעים שני ערכים מוחלטים
#מוצאים את כל הערכים המאפסים את הערכים המוחלטים המופיעים באי-שוויון, ומסדרים אותם מהקטן לגדול.
#מחלקים את ציר המספרים כולו לתחומים, לפי הערכים שקיבלנו בסעיף הקודם.
#עבור כל תחום רושמים איך ייראה אי-השוויון, '''תוך השמטת סימני הערך המוחלט'''. למרות שזה נשמע קשה, זה לא עד כדי כך מסובך.
#עבור כל תחום,
#בודקים באופן כללי עבור כל אחד מערכי הגבול (הערכים שהתקבלו בסעיף הראשון)
#עבור כל התחומים, מאחדים את התשובות (קשר או) ומוסיפים (אם צריך) את ערכי הגבול
<BR><BR>
בשלב זה נראה שדוגמא תתרום להבנת התהליך. נדגים את שלבי הפתרון על אי-השוויון:
<center>
<math>\ |x-3|+|x+1|>6</math><br>
</center>
#הערכים המאפסים את הערכים המוחלטים (לפי הסדר) הם: <math>\ -1, 3</math>.
#התחומים המתקבלים הם:
שורה 61 ⟵ 99:
#*<math>\ -1<x<3</math>.
#*<math>\ x>3</math>.
#
<table border="1" cellspacing="3" cellpadding="4">
<tr>
שורה 110 ⟵ 148:
{|border="0" cellpadding="6" width="100%"
|-
|align="center" width="50%"| <math>
|align="center" width="50%"| <math>
|}<br>
<center>'''אף אחד מערכי הגבול אינו מקיים את האי-שוויון, ולכן אינו מהווה פתרון.'''</center>
שורה 117 ⟵ 155:
</tr>
<tr>
<td><center><B>
<td align="center" colspan="3"><math>\ x<-2
</tr>
</table>
|