מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות עם ערך מוחלט: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
בונגולים (שיחה | תרומות)
שינוי שוויונים לשוויונות
דרורק (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
שורה 1:
לפני שנתחיל נראה את הגדרת הערך המוחלט:<br>
<center>
<math>\ |x|=\left\{\begin{matrix} x, & \mbox{if }x \ge 0 \\ -x, & \mbox{if }x<0 \end{matrix}\right. </math>
<br>
</center>
משמעות ההגדרה, היא כי הערך המוחלט של כל מספר הוא בעצם מרחקו מהאפס. כלומר, מרחקו של 6- מה-0 זהה למרחקו של 6 מהאפס, כלומר הערך המוחלט שלהם שווה. (בכלליות ניתן לומר כי <math>\ |x|=|-x|</math>)<BR>
חשובמשמעות לשים לבההגדרה, כי מההגדרה נובעהיא כי ערכוהערך המוחלט של '''כל מספר''' הוא איבעצם שלילימרחקו מהאפס על גבי ציר המספרים. כלומר, מרחקו של <math>\-6</math> |x|מ-0 \geזהה למרחקו של 0</math>6<BR/math><BR>. ניתןמהאפס, לראותכלומר זאתהערך גםהמוחלט מציורשלהם הפונקציה:שווה. בכלליות ניתן לומר כי
<center>
<math>\ |x>5\ or\ |=|-x<-5|</math><BR><BR>
</center>
חשוב לשים לב כי מההגדרה נובע כי ערכו המוחלט של '''כל מספר''' הוא אי שלילי. כלומר, <center>
<math>\ |x>3.5\| or\ge x<-2.50</math><BrBR><BR>
</center>
ניתן לראות זאת גם מציור הפונקציה:
<center>
[[תמונה:Absolute value.png]]
</center>
 
==אי שוויונות עם ערך מוחלט אחד==
ככלל, קיימים שני אי-שוויונות בסיסיים אותם יש לדעת ולהבין, ואת היתר ניתן (בדרך כלל) לפתור באמצעותם:

<BR><BR>
===מקרה א'- <math>\ |x| < a</math>===
<BR>
אם <math>\ a</math> הינו מספר שלילי, אזי אין פתרון לאי-שוויון זה. זאת משום שאגף שמאל תמיד חיובי או אפס (ערך מוחלט), לעומת אגף ימין שהוא מספר שלילי. לכןולכן, אין פתרון לאי-שוויון מסוג זה.<BR><BR>
אם <math>\ a</math> מספר חיובי, אזי תחום הערכים המהווים פתרון לאי-השוויון הוא <math>\ -a < x < a</math>. נוכיחנדגים זאת ע"פ דוגמה מספרית:<BR>
<center>
<BR>
<math>\ |x|<5</math>.<br><BR>
</center>
נצייר את הגרף לשני האגפים בנפרד על אותה מערכת צירים, ונראה מתי אי-השוויון מתקיים:<BR><BR>
אם נצייר את הגרף לשני האגפים על אותה מערכת צירים, נוכל בנקל לראות מתי אי-השוויון מתקיים (זאת מכיוון שקל לצייר את שני הגרפים באופן סכמטי וכל שאנו מחפשים הוא החלק בגרף של אגף שמאל שנמצא "מתחת" לגרף של אגף ימין):
<center>
<BR><BR>
[[תמונה:Inequality5.PNG|500px]]<BR>
</center>
מהגרף ניתן לראות כי הערכים בהם הערך המוחלט של X<math>\;x</math> (כלומר <math>\;|x|</math>) קטן מ-<math>\;5</math> נמצאים בין <math>\;(5-5)</math> ל-<math>\;(5+5)</math>. כלומר התשובהה'''תשובה''' היא:<BR>
<math>\ -5 < x < 5</math><BR><BR>
 
====דוגמה לפתרון תרגיל:<BR>====
מצא לאילו ערכי X<math>\;x</math> אי השוויון הבא מתקיים:
<center>
<math>\ |2x-3|<4</math>.<BR><BR>
</center>
נלךנפתור לפי השיטה שהצגנו:<BR><BR>
 
<center>
<math>\ -4<2x-3<4</math><Br><BR>
<math>\ -4<2x-3\ and</math> וגם <math>\ 2x-3<4 </math><Br><BR>
<math>\ -1<2x\ and\</math> וגם <math>\;2x<7</math><Br><BR>
<math>\ x>-0.5\ and</math> וגם <math>\ x<3.5</math><Br><BR>
<math>\ -0.5<x<3.5</math><Br><BR>
</center>
וזהו הפתרון.
 
===מקרה ב'- <math>\ |x|>a</math>===
אם <math>\ a</math> מספר שלילי, אז אי-השוויון מתקיים עבור '''כל איקס<math>x</math>'''. זאת משום שאגף שמאל תמיד אי-שלילי (ערך מוחלט), והאגף הימיני שלילי. כידוע, מספר חיובי '''תמיד''' גדול ממספר שלילי.<BR><BR>
אם <math>\ a</math> מספר חיובי, אזי תחום הערכים המהווים פתרון לאי-השוויון הוא <math>\ x>a\ or</math> '''או''' <math>\ x<-a</math>. נוכיחנדגים זאת ע"פבעזרת אותה דוגמההדוגמה מספריתהמספרית בה השתמשנו קודם:<BR>
<center><BR>
<math>\ |x|>5</math>.<br><BR>
</center>
נצייר את הגרף לשני האגפים בנפרד על אותה מערכת צירים, ונראה מתי אי-השוויון מתקיים:<BR><BR>
נצייר את הגרף לשני האגפים בנפרד על אותה מערכת צירים, ונראה מתי אי-השוויון מתקיים. במקרה זה אנו מעוניינים לבדוק באיזה תחום הגרף של <math>\;|x|</math> נמצא מעל אגף ימין:<BR><BR>
<center>
[[תמונה:Inequality6.PNG|500px]]<BR>
</center>
מהגרף ניתן לראות כי הערכים בהם הערך המוחלט (מודגשים בקו שחור עבה בגרף) של X<math>\;x</math> גדול מ-(<math>\;5+)</math> נמצאים אחרי <math>\;5</math>, או לפני <math>\;(5-5)</math>. כלומר התשובה היא:<BR>
<math>\ x>5\ or\ x<-5</math><BR><BR>
<center>
<math>\ 4xx>145\ or</math> או <math>\ 4xx<-10 5</math><BrBR><BR>
</center>
 
דוגמה לפתרון תרגיל:<BR>
מצא לאילו ערכיערכים Xשל <math>\;x</math> אי השוויון הבא מתקיים:
<center>
<math>\ |4x-2|>12</math>.<BR><BR>
</center>
נלך לפי השיטה:<BR><BR>
נפתור לפי השיטה שהצגנו:
<math>\ 4x-2>12\ or\ 4x-2<-12</math><Br><BR>
<center>
<math>\ 4x>14\ or\ 4x<-10 </math><Br><BR>
<BR><BR>
<math>\ x>3.5\ or\ x<-2.5</math><Br><BR>
<math>\ 4x-2>12\ or</math> או <math>\ 4x-2<-12</math><Br><BR>
<math>\ 4x>14\ </math> או <math>\ 4x<-10 </math><Br><BR>
<math>\ x>3.5\ </math> או <math>\ x<-2.5</math><Br><BR>
</center>
וזהו הפתרון.
 
==אי שוויונות עם שני ערכים מוחלטים או יותר==
כאשר מופיעים שני ערכים מוחלטים באי-שוויון (או יותר) באי-שוויון, הענייניםהטכניקה מתחיליםלפתרון להסתבך.נעשית טכניקתמסובכת הפתרוןמעט שונהיותר. לחלוטין,נדגים וכאןשיטה אפרטלפתרון: עליה.<BR><BR>
טכניקת הפתרון בקווים כלליים:<BR>
#מוצאים את כל הערכים המאפסים את הערכים המוחלטים המופיעים באי-שוויון, ומסדרים אותם מהקטן לגדול.
#מחלקים את ציר המספרים כולו לתחומים, לפי הערכים שקיבלנו בסעיף הקודם.
#עבור כל תחום רושמים איך ייראה אי-השוויון, '''תוך השמטת סימני הערך המוחלט'''. למרות שזה נשמע קשה, זה לא עד כדי כך מסובך.
#עבור כל תחום, מאחדיםחותכים את התוצאה שהתקבלה עם התחום שהוצב (קשרכלומר שימוש בקשר וגם הגורם ל[[אלגברה תיכונית/קבוות ותחומים/איחוד וחיתוך|חיתוך]] קבוצות).
#בודקים באופן כללי עבור כל אחד מערכי הגבול (הערכים שהתקבלו בסעיף הראשון)- האםאם הוא מקיים את האי שוויון?!.
#עבור כל התחומים, מאחדים את התשובות (קשר או) ומוסיפים (אם צריך) את ערכי הגבול- וזו התשובה הסופית.
<BR><BR>
בשלב זה נראה שדוגמא תתרום להבנת התהליך. נדגים את שלבי הפתרון על אי-השוויון: <math>\ |x-3|+|x+1|>6</math><br>
<center>
<math>\ |x-3|+|x+1|>6</math><br>
</center>
#הערכים המאפסים את הערכים המוחלטים (לפי הסדר) הם: <math>\ -1, 3</math>.
#התחומים המתקבלים הם:
שורה 61 ⟵ 99:
#*<math>\ -1<x<3</math>.
#*<math>\ x>3</math>.
#נעשהנבנה כאן טבלה, שכותרות העמודות בה יהיו התחומים שקיבלנו בסעיף הקודם, ומתחת יהיה פתרון האיאי-שוויוןהשיויון לפי השלבים:<BR><BR>
<table border="1" cellspacing="3" cellpadding="4">
<tr>
שורה 110 ⟵ 148:
{|border="0" cellpadding="6" width="100%"
|-
|align="center" width="50%"| <math>\ For\ x=-1\ :</math><BR><math>\Downarrow</math><BR><math>\ |-4|+|0|>6</math><BR><BR><math>\ 4+0>6</math><BR><BR><math>\ 4>6</math>
|align="center" width="50%"| <math> \ For\ x=3\ :</math><BR><math>\Downarrow</math><BR><math>\ |0|+|4|>6</math><BR><BR><math>\ 4>6</math>
|}<br>
<center>'''אף אחד מערכי הגבול אינו מקיים את האי-שוויון, ולכן אינו מהווה פתרון.'''</center>
שורה 117 ⟵ 155:
</tr>
<tr>
<td><center><B>הפתרוןהתשובה הסופיהסופית</b></center></td>
<td align="center" colspan="3"><math>\ x<-2\quad</math> orאו <math>\quad ;x>4</math></td>
</tr>
</table>