מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/בניה פורמלית של המספרים המרוכבים: הבדלים בין גרסאות בדף

פרק זה מיועד להעשרה ואינו נכלל בחומר הלימוד.

 

עד עתה למדנו מהם המספרים המרוכבים, כיצד ניתן לבצע עליהם את פעולות החשבון הבסיסיות וכיצד ניתן לתאר אותם במספרים דרכים שונות. כלומר, התמקדנו בהיבט הפונקציונלי יותר שלהם. טרם ענינו על השאלה כיצד הם נבנים, ומדוע בניה זו חוקית בכלל.

 

נציג כאן שתי דרכי בניה שונות, אך כמובן בעלות אותה תוצאה סופית. הדרך הראשונה היא ישירה ומבוססת על התכונות שלמדנו של המספרים המרוכבים. הדרך השנייה היא מורכבת יותר אך גם עמוקה יותר, ומהווה מקרה פרטי של תהליך כללי השייך לתחום הנקרא '''[[תורת השדות]]'''. גם אם לא תצליחו להבין במלואה את הדרך השנייה - אל חשש! דרך זו מבוססת על חומר תיאורטי רב שלא נביא כאן, ועל כן עלולה להיות בלתי ברורה.

 

בפרק העוסק במישור המרוכב ראינו שיש התאמה בין המספרים המרוכבים ובין המישור האוקלידי. ביתר פירוט: לכל מספר מרוכב קיים זוג סדור של מספרים ממשיים שמתאים לו. אם כך, מדוע לא '''להגדיר''' את המספרים המרוכבים בתור זוגות של מספרים ממשיים? כלומר, לחשוב על הזוג <math>\ (a,b)</math> בתור המספר <math>\ a+bi</math>.

 

למעשה, אנחנו רואים כי ההבדל היחיד בין אוסף המספרים מהצורה <math>\ a+bi</math> ואוסף הזוגות <math>\ (a,b)</math> הוא בצורת הסימון בלבד. בכל הנוגע לפעולות החיבור והכפל, שתי קבוצות אלו זהות לגמרי. על שתי קבוצות שהן זהות בתכונות שחשובות לנו (במקרה זה - כפל וחיבור) פרט לסימון האיברים שבהן נהוג לומר שהן '''איזומורפיות''' (ביטוי שנגזר מהמילים היווניות "איזו" - זהה ו-"מורפיזם" - צורה).

 

כעת ננסה לראות מהי הדרך הכללית יותר לבנות את המספרים המרוכבים. דרך זו היא מקרה פרטי של פעולה הנקראת '''הרחבת שדות'''. לשם כך נסביר קודם כל מהו שדה.

באלגברה המילה "שדה" באה לתאר קבוצה שמוגדרות עליה פעולות של חיבור וכפל, ומקיימת מספר תכונות הקשורות לחיבור ולכפל שמבטיחות שהתנהגות הקבוצה תהיה דומה לזו של המספרים הרציונליים. נביא כעת את רשימת התכונות הללו. למרות אורכה היחסי, אין בה כמעט שום דבר חדש: אנחנו פשוט נציין תכונות שאנחנו מכירים כבר זמן רב מהמספרים הרציונליים והממשיים.

#פעולות החיבור והכפל הן '''אסוציאטיביות''' כל אחת לחוד - כלומר, אינן תלויות בסדר ההפעלה שלהן. כלומר, מתקיים <math>\ (ab)c=a(bc),(a+b)+c=a+(b+c)</math>.

שתי דוגמאות לשדות שודאי מוכרות לכם הם המספרים הרציונליים והמספרים הממשיים. המספרים השלמים אינם שדה כי אין בהם הופכי לפעולת הכפל. למשל, <math>\ \frac{1}{2}</math> אינו מספר שלם ולכן ל-<math>\ 2</math> אין הופכי (המספרים השלמים נקראים '''חוג''', שזהו מקרה כללי יותר של שדה, אך לא ניכנס לכך כאן). קיימות דוגמאות רבות אחרות שלא נציג כאן, אך נשים לב כי אפילו הקבוצה שמכילה רק את המספרים <math>\ 0,1</math> כאשר פעולות החיבור והכפל מוגדרות כרגיל פרט לכך ש-<math>\ 1+1=0</math> מהווה שדה!

 

כעת נלמד על פולינומים והקשר שלהם למשוואות.

 

עד עכשיו המקדמים של הפולינום היו תמיד מספרים, וכך הם יהיו גם בשימוש שאנו נעשה בפולינומים, אך באופן כללי ניתן לבחור מקדמים מכל קבוצת איברים שמוגדרות עליה פעולות של כפל וחיבור. בשל כך התהליך שנראה בהמשך ניתן לביצוע עבור כל שדה, ולא רק עבור המספרים הממשיים.

 

לפני שנראה כיצד הפולינומים משמשים בהרחבת שדות אנחנו צריכים לדעת עוד דבר אחד: כיצד מתבצעת חלוקת פולינומים. חלוקת פולינומים דומה מאוד לחילוק ארוך עם שארית. התהליך עצמו הוא טכני ואינו מסובך במיוחד, אך לא ניכנס אליו כאן מאחר שאין זה הכרחי למה שאנו עומדים לעשות. אנו מתעניינים בעיקר בתוצאת החילוק. אם <math>\ p(x)</math> הוא פולינום ואנו רוצים לחלק אותו בפולינום <math>\ q(x)</math>, התוצאה תהיה פולינום אחר, שהוא המנה של החלוקה, ופולינום שהוא השארית של החלוקה. ניתן לתאר זאת על ידי המשוואה הבאה:

 

אתם יכולים לנסות ולבצע את פעולות הכפל והחיבור באגף ימין ולראות שאכן מתקבל אגף שמאל.

 

כעת נראה כיצד מקבלים משדה המספרים הממשיים שדה חדש, שתכונותיו יהיו התכונות שאנו רוצים משדה המספרים המרוכבים.

 

כעת נזהה כל אחד מהפולינומים עם מספר מרוכב: את הפולינום <math>\ a+bx</math> נזהה עם המספר המרוכב <math>\ a+bi</math>. ניתן להראות כי פרט לצורת הסימון השונה, אוסף המספרים המרוכבים זהה לאוסף הפולינומים עם הפעולות המיוחדות שהוגדרו.

 

ראינו כיצד השיטה מתבצעת, אבל טרם הראנו את הרעיון הכללי שעומד מאחוריה.

 

 

שנית, אף שהתהליך התבצע עם הפולינום <math>\ x^2+1</math> אין מניעה לבצע אותו עם פולינומים אחרים. ניתן להוכיח כי בכל מקרה שבו אנו מבצעים את התהליך עם פולינום שהוא '''אי פריק''' (כלומר, לא ניתן לכתיבה כמכפלה של פולינומים ממעלות נמוכות יותר) מקבלים שדה, ובשדה זה קיים לפולינום שאיתו ביצענו את התהליך שורש.

[[קטגוריה:מספרים מרוכבים|6]]